Giáo viên chủ nhiệm chia thời gian sử dụng Internet trong một ngày của $40$ học sinh trong lớp thành năm nhóm (đơn vị: phút) và lập bảng tần số ghép nhóm như sau:

Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm $[180;240)$.

Có hai túi I và II mỗi túi chứa $4$ tấm thẻ được đánh số $1, \, 2, \, 3, \, 4$. Rút ngẫu nhiên từ mỗi túi ra một tấm thẻ và nhân hai số ghi trên tấm thẻ với nhau. Tính xác suất của biến cố $A$: "Kết quả là $1$ hoặc một số nguyên tố".

Với$x>0$, cho hai biểu thức $A=\dfrac{x+2\sqrt{x}}{x}$ và $B=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\dfrac{2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}$.

a) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x=4$.

b) Chứng minh $B=\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}$.

c) Tìm số nguyên $x$ nhỏ nhất để $\dfrac{A}{B}\lt \dfrac{7}{4}$.

Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được $820$ tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức $15\%$, đơn vị thứ hai làm vượt mức $20\%$ so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được $965$ tấn thóc. Năm nay mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?

Một nhóm công nhân dự định làm $350$ sản phẩm. Trong $8$ ngày đầu họ thực hiện đúng định mức đề ra, những ngày còn lại họ đã làm vượt định mức đề ra mỗi ngày $5$ sản phẩm, nên đã hoàn thành công việc sớm hơn $1$ ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nhóm công nhân cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm.

Biết rằng phương trình bậc hai $x^2+x+m=0$ có hai nghiệm là $x_1=\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$ và $x_2$. Tính giá trị của biểu thức $A=2\,024x_1+2\,025x_2$.

Trái Đất, hành tinh chúng ta đang sống, dạng hình cầu có bán kính là $6 \, 370$ km. Biết rằng $29\%$ diện tích bề mặt Trái Đất không bị bao phủ bởi nước bao gồm núi, sa mạc, cao nguyên, đồng bằng và các địa hình khác.

a) Tính diện tích của bề mặt Trái Đất.

b) Tính diện tích bề mặt mặt Trái Đất bị bao phủ bởi nước (Lấy $\pi \approx 3,14$; kết quả làm tròn đến chữ số hàng đơn vị).

Cho hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng $4$ cm. Vẽ đường tròn tâm $O$ đường kính $AD$; $BM$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $O$ ($M$ là tiếp điểm, $M \ne A$), $BM$ cắt $CD$ tại $K$.

a) Chứng minh bốn điểm $A,\, B,\, M,\, O$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $OB \perp OK$ và $BM.MK=\dfrac{AB^2}{4}$.

c) Đường thẳng $AM$ cắt $CD$ tại$E$. Chứng minh $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $ED$ và tính chu vi của tứ giác $ABKD$.

Một hành lang giữa hai nhà có dạng hình lăng trụ đứng (hình vẽ). Hai mặt bên $ABB'A'$ và $ACC'A'$ là hai tấm kính hình chữ nhật dài $16$ m, rộng $4$ m. Gọi $x$ (m) là độ dài của cạnh $BC$.

Tìm $x$ để thể tích không gian hành lang lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.