1) Giả sử \(\Delta ABC\sim\Delta XYZ\)  và giả sử cạnh tương ứng bằng nhau là \(AB=YZ\)

 Do \(\Delta ABC\sim\Delta XYZ\)  nên \(\widehat{CAB}=\widehat{ZXY};\widehat{CBA}=\widehat{ZYX}\) 

 Do vậy, \(\Delta ABC=\Delta XYZ\left(g.c.g\right)\)

2) Xét \(n⋮3\Rightarrow n^2⋮3\Rightarrow n^2+1⋮̸3\)

Xét \(n=3k+1\left(k\inℕ\right)\) thì 

\(n^2+1=\left(3k+1\right)^2+1=9k^2+6k+2⋮̸3\)

Xét \(n=3k+2\) thì

\(n^2+1=\left(3k+2\right)^2+1=9k^2+12k+5⋮̸3\)

Vậy \(n^2+1⋮̸3\) với mọi \(n\inℕ\)

Không hiểu chỗ nào vậy bạn?

Gọi \(k\) là số chữ số của \(n\). Khi đó đặt 

\(n=\overline{a_0a_1a_2...a_{k-1}}=10^{k-1}a_0+10^{k-2}a_1+...+10^1a_{k-2}+10^0a_{k-1}\) và \(a_0\ne0\)

Có \(n+S\left(n\right)=2014\)

\(\Rightarrow\left(10^{k-1}+1\right)a_0+\left(10^{k-2}+1\right)a_1+...+\left(10^1+1\right)a_{k-2}+\left(10^0+1\right)a_{k-1}=2014\) (1)

Khi đó vì \(a_i\ge0\) với mọi \(i=1,2,...,k-1\) và \(a_0\ge1\) nên từ (1) có:

\(10^{k-1}+1\le2014\Leftrightarrow k\le4\)    (2)

Mặt khác \(a_j\le9\) với mọi \(j=0,1,2,...,k-1\) nên 

\(9\left(10^{k-1}+1+10^{k-2}+1+...+10^0+1\right)\ge2014\)

\(\Leftrightarrow10^{k-1}+10^{k-2}+...+10^0+k\ge224\)    (3)

Đặt \(S=10^{k-1}+10^{k-2}+...+10^0\)

\(\Rightarrow10S=10^k+10^{k-1}+...+10^1\)

\(\Rightarrow10S-S=9S=10^k-1\)

\(\Rightarrow S=\dfrac{10^k-1}{9}\)

Như vậy, từ (3) ta có \(\dfrac{10^k-1}{9}+k\ge224\)

\(\Rightarrow k\ge4\)    (4)

Từ (2) và (4) ta có \(k=4\), hay \(n\) có 4 chữ số

Khi đó gọi \(n=\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d\)

\(\Rightarrow n+S\left(n\right)=1001a+101b+11c+2d=2014\)

\(\Rightarrow1001a< 2014\Rightarrow a\le2\)

Xét \(a=2\) thì ta có \(101b+11c+2d=12\), vô lý.

Với \(a=1\), ta có \(1\le S\left(n\right)\le36\Rightarrow1978\le n=2014-S\left(n\right)\le2013\)

\(\Rightarrow1978\le n\le1999\)

Do đó \(a=1,b=9,c\in\left\{7,8,9\right\}\)

\(\Rightarrow n+S\left(n\right)=1001+909+11c+2d=2014\Leftrightarrow11c+2d=104\)

Vì 112 và \(2d\) đều là số chẵn nên \(c\) chẵn \(\Rightarrow c=8\)

\(\Rightarrow d=8\)

Vậy \(n=1988\) là số tự nhiên duy nhất thỏa mãn ycbt.

 Xét hệ trục tọa độ Oxy có \(Ox\equiv d\), O là hình chiếu của A trên d và A, B nằm phía trên trục hoành và không mất tính tổng quát, giả sử B nằm bên phải trục tung. Khi đó \(A\left(0;a\right),B\left(b;c\right)\) với \(a,b,c>0\)

Vì \(\overrightarrow{EF}\) không đổi nên \(E\left(i;0\right),F\left(i+k;0\right)\) với \(k=const\) (tức là \(EF=k\)).

\(\Rightarrow AE+BF=\sqrt{i^2+a^2}+\sqrt{\left(i+k-b\right)^2+c^2}\)

\(=\sqrt{i^2+a^2}+\sqrt{\left(b-k-i\right)^2+c^2}=P\)

Lấy \(\overrightarrow{u}=\left(i;a\right);\overrightarrow{v}=\left(b-k-i;c\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(b-k;a+c\right)\)

\(P=\left|\overrightarrow{u}\right|+\left|\overrightarrow{v}\right|\ge\left|\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right|=\sqrt{\left(b-k\right)^2+\left(a+c\right)^2}=const\) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\overrightarrow{u}\uparrow\uparrow\overrightarrow{v}\) 

\(\Leftrightarrow\dfrac{i}{b-k-i}=\dfrac{a}{c}\)

\(\Leftrightarrow ci=ab-ak-ai\)

\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)i=ab-ak\)

\(\Leftrightarrow i=\dfrac{ab-ak}{a+c}\) \(\Rightarrow E\left(\dfrac{ab-ak}{a+c};0\right),F\left(\dfrac{ab+ck}{a+c};0\right)\)

Vậy ...

 Xét hệ trục tọa độ Pxyz có \(\overrightarrow{i}\uparrow\uparrow\overrightarrow{PA};\overrightarrow{j}\uparrow\uparrow\overrightarrow{BC};\overrightarrow{k}\uparrow\uparrow\overrightarrow{PS}\)

 Khi đó \(A\left(a;0;0\right);C\left(-a;a\sqrt{3};0\right);D\left(a;a\sqrt{3};0\right);S\left(0;0;a\sqrt{3}\right)\)

\(\Rightarrow Q\left(\dfrac{a}{2};\dfrac{a\sqrt{3}}{2};\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)

ptmp \(\left(ABC\right):z=0\) \(\Rightarrow\overrightarrow{n_{\left(ABC\right)}}=\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)\)

Có \(\overrightarrow{AC}=\left(-2a;a\sqrt{3};0\right)\); \(\overrightarrow{AQ}=\left(-\dfrac{a}{2};\dfrac{a\sqrt{3}}{2};\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{n}=\overrightarrow{n_{\left(AQC\right)}}=\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AQ}\right]=\left(\dfrac{3a^2}{2};a^2\sqrt{3};-\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)\)

Gọi \(\alpha=\widehat{\left(ABC\right),\left(AQC\right)}=\widehat{\overrightarrow{n_{ABC}},\overrightarrow{n_{AQC}}}=\widehat{\overrightarrow{n},\overrightarrow{k}}\)

\(\Rightarrow\cos\alpha=\dfrac{\left|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{k}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|\left|\overrightarrow{k}\right|}=\dfrac{\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\left(\dfrac{3a^2}{2}\right)^2+\left(a^2\sqrt{3}\right)^2+\left(-\dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)^2}\sqrt{0^2+0^2+1}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)

\(\Rightarrow\alpha\approx69,3^o\)

 Vì \(I\in\Delta:x-2y+5=0\) nên \(I\left(2a-5;a\right)\). 

 Gọi M là trung điểm AB thì \(M\left(1;5\right)\)

 Gọi d là đường trung trực của đoạn AB. Có \(\overrightarrow{AB}=\left(2;2\right)\) nên ta chọn \(\overrightarrow{n_d}=\left(1;1\right)\). Khi đó \(d:x+y+C=0\)

 \(M\in d\Rightarrow1+5+C=0\Leftrightarrow C=-6\)

 \(\Rightarrow d:x+y-6=0\)

 \(I\in d\Rightarrow2a-5+a-6=0\Leftrightarrow a=\dfrac{11}{3}\)

 \(\Rightarrow I\left(\dfrac{7}{3};\dfrac{11}{3}\right)\) 

 Có \(IA=R=\sqrt{\left(\dfrac{7}{3}-0\right)^2+\left(\dfrac{11}{3}-4\right)^2}=\dfrac{5\sqrt{2}}{3}\)

 \(\Rightarrow\) pt đường tròn cần tìm là:

 \(\left(C\right):\left(x-\dfrac{7}{3}\right)^2+\left(y-\dfrac{11}{3}\right)^2=\dfrac{50}{9}\)

 Vì ta xếp được 12 đại biểu vào 4 phòng, mỗi phòng 3 đại biểu và không có đại biểu nào cùng quốc tịch nên ta kết luận được trong số 12 đại biểu trên, có 4 người đến từ mỗi quốc gia.

 Số phần tử của không gian mẫu là \(\left|\Omega\right|=C^3_{12}.3!\)

 Gọi A là biến cố cần tìm.

 Gọi các đại biểu có quốc tịch Việt Nam ở phòng số 1,...,4 lần lượt là \(V_1,...,V_4\), từ Mỹ là \(A_1,...,A_4\) và từ Pháp là \(F_1,...,F_4\)

 Khi đó ta kẻ bảng sau:

 Gọi nhóm 3 đại biểu đến từ 3 quốc tịch khác nhau là \(\left(V_i,A_j,F_k\right)\) với \(1\le i,j,k\le4\). Khi đó 3 đại biểu này ở khác phòng khi và chỉ khi \(i,j,k\) đôi một phân biệt.

 Khi đó có \(4.3.2=24\) cách chọn \(\left(i,j,k\right)\).

 Với mỗi bộ \(\left(i,j,k\right)\), khi xếp 3 đại biểu này vào ghế dài, số cách xếp thỏa mãn ycbt là \(2.2!=4\). Khi đó tổng số cách là \(24.4=96\)

 \(\Rightarrow P\left(A\right)=\dfrac{\left|A\right|}{\left|\Omega\right|}=\dfrac{96}{C^3_{12}.6!}=\dfrac{4}{55}\)

 BĐT Cauchy chỉ đúng khi \(\dfrac{x}{3},\dfrac{3}{x-2}\ge0\Leftrightarrow x>2\) thôi.

 Khi đó \(\dfrac{x}{3}+\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{x-2}{3}+\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{2}{3}\)

\(\ge2\sqrt{\dfrac{x-2}{3}.\dfrac{3}{x-2}}+\dfrac{2}{3}\)

\(=2+\dfrac{2}{3}\)

\(=\dfrac{8}{3}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\dfrac{x-2}{3}=\dfrac{3}{x-2}\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2=9\Rightarrow x-2=3\Leftrightarrow x=5\) 

Vậy GTNN của biểu thức đã cho là \(\dfrac{8}{3}\) khi \(x=5\)