Cái chỗ "Do đó \(ƯCLN\left(3z+1,9z^2-3z+1\right)\)" là \(=1\) nhé.

Từ đk đề bài \(\Rightarrow y⋮3\Rightarrow y=3z\left(z\inℤ\right)\)

Nếu \(z=0\Rightarrow y=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-\dfrac{2}{3}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Nếu \(z=1\Rightarrow y=3\Rightarrow3x^2+2x-1=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=\dfrac{1}{3}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Nếu \(z=-1\Rightarrow y=-3\Rightarrow9x^2+6x+3=0,\) vô nghiệm

Xét \(\left|z\right|\ge2\)

pt đã cho \(\Leftrightarrow9x^2+6x+1=y^3+1\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+1\right)^2=\left(y+1\right)\left(y^2-y+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+1\right)^2=\left(3z+1\right)\left(9z^2-3z+1\right)\) (*)

Ta tính \(ƯCLN\left(3z+1,9z^2-3z+1\right)\)

Theo thuật toán Euclid, có \(ƯCLN\left(a,b\right)=ƯCLN\left(a,b+k.a\right)\) với \(k\inℤ\) bất kì.

Chọn \(a=3z+1,b=9z^2-3z+1,k=-\left(3z-1\right)\), ta được:

\(ƯCLN\left(3z+1,9z^2-3z+1\right)\)

\(=ƯCLN\left(3z+1,9z^2-3z+1-\left(3z-1\right)\left(3z+1\right)\right)\)

\(=ƯCLN\left(3z+1,9z^2-3z+1-9z^2+1\right)\)

\(=ƯCLN\left(3z+1,3z+2\right)\)

\(=1\) 

Do đó \(ƯCLN\left(3z+1,9z^2-3z+1\right)\)

Như vậy từ (*), ta thấy \(\left(3z+1\right)\left(9z^2-3z+1\right)\) là SCP thì \(3z+1\) và \(9z^2-3z+1\) đều phải là SCP.

Tuy nhiên \(9z^2-3z+1=y^2-y+1\). Vì \(\left(y-1\right)^2=y^2-2y+1< y^2-y+1< y^2\) với \(\left|y\right|\ge6\) nên \(9z^2-3z+1\) không thể là SCP, điều này vô lý.

 Vậy với \(\left|z\right|\ge2\) thì pt đã cho không có nghiệm nguyên. Do đó pt chỉ có các nghiệm \(\left(x,y\right)\) là \(\left(0,0\right);\left(-1,3\right)\)

Đặt \(m^2-1=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

\(VP=\left[n\left(n+3\right)\right]\left[\left(n+1\right)\left(n+2\right)\right]\)

\(=\left(n^2+3n\right)\left(n^2+3n+2\right)\)

\(=\left(n^2+3n+1-1\right)\left(n^2+3n+1+1\right)\)

\(=\left(n^2+3n+1\right)^2-1\)

Khi đó \(m^2-1=\left(n^2+3n+1\right)^2-1\)

\(\Leftrightarrow m=n^2+3n+1\)

Ta cho \(1\le n^2+3n+1\le2024\)

\(\Leftrightarrow0\le n\le43\)

\(\Rightarrow\) Có \(43-0+1=44\) số thú vị trong 2024 số nguyên dương đầu tiên.

a) Đúng vì \(M,N\in\left(ABC\right)\cap\left(MNP\right)\)

b) Đúng vì \(C,D\in\left(ACD\right)\cap\left(BCD\right)\)

c) Đúng vì \(E\in CD\) và \(E\in NP\subset\left(MNP\right)\)

d) Sai. Qua P kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD tại F. Khi đó F mới là giao điểm của AD và mp(MNP).

ĐKXĐ: \(a,b,c>0;b+c>a\)

Bình phương 2 vế của đk đã cho, ta được:

\(b+2\sqrt{bc}+c=a+b+c-a+2\sqrt{a\left(b+c-a\right)}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{bc}=\sqrt{a\left(b+c-a\right)}\)

\(\Leftrightarrow bc=a\left(b+c-a\right)\)

\(\Leftrightarrow bc=ab+ac-a^2\)

\(\Leftrightarrow a^2-ab-ac+bc=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\a=c\end{matrix}\right.\), ta có đpcm.

 Nếu 1 trong 2 số \(x,y\) không chia hết cho 5 thì hiển nhiên \(x^2-xy+y^2⋮̸5\). 

 Do đó, ta chỉ xét trường hợp \(x,y\) hoặc cùng chia hết cho 5 hoặc đều không chia hết cho 5.

 Nếu \(x,y⋮̸5\) thì \(x=5z+r\left(z,r\inℕ;1\le r\le4\right)\) và \(y=5t+r'\left(t,r'\inℕ;1\le r'\le4\right)\)

 Khi đó \(x^2-xy+y^2=\left(5z+r\right)^2-\left(5z+r\right)\left(5t+r'\right)+\left(5t+r'\right)^2\)

\(=25z+10zr+r^2-25zt-5zr'-5tr-rr'+25t^2+10tr'+r'^2\)

\(=5P+r^2-rr'+r'^2\) 

\(=55P+\left(r+r'\right)^2-3rr'\)

Do \(rr'⋮̸5\) nên nếu \(r+r'⋮5\) thì \(x^2-xy+y^2⋮̸5\)(loại), do đó \(r+r'⋮̸5\)

Nếu \(r\equiv r'\) thì \(P=55P+4r^2-3r^2=55P+r^2⋮̸5\)

Do đó ta xét các TH:

\(\left(r,r'\right)=\left(1,2\right)\) thì \(r^2-rr'+r'^2=3⋮̸5\), loại

\(\left(r,r'\right)=\left(1,3\right)\) thì \(r^2-rr'+r'^2=7⋮̸5\), loại

\(\left(r,r'\right)=\left(2,4\right)\) thì \(r^2-rr'+r'^2=12⋮̸5\), loại

\(\left(r,r'\right)=\left(3,4\right)\) thì \(r^2-rr'+r'^2=13⋮̸5\), loại

Vậy \(x,y⋮5\). Làm tương tự đối với 11 (nhưng hơi dài chút)

Khi đó ta chứng minh được \(x,y⋮55\) 

\(\Rightarrow x^2-xy+y^2⋮55^2=3025\) (đpcm)

Mình sẽ suy nghĩ cách ngắn hơn nhé.

a) Ta có \(\cos\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)=\cos ACB=\dfrac{CB^2+CA^2-AB^2}{2CB.CA}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB}=CA.CB.\cos\left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)=5.8.\dfrac{1}{2}=20\)

b) Vì \(\cos ACB=\cos ACD=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\widehat{ACD}=60^o\)

c) Có \(CA=CD,\widehat{ACD}=60^o\Rightarrow\Delta ACD\) đều

 Gọi K là trung điểm của CH. Khi đó dễ thấy KE là đường trung bình của tam giác CMH nên KE//CM hay KE//CD

 Mà tam giác ACD đều, có M là trung điểm CD nên \(AM\perp CD\)

 Từ đó suy ra \(KE\perp AM\)

 Lại có \(MH\perp AK\) \(\Rightarrow\) E là trực tâm của tam giác AKM

 \(\Rightarrow MK\perp AE\). 

 Mặt khác, MK là đường trung bình của tam giác CHD nên MK//DH

 Do đó \(AE\perp DH\) \(\Rightarrow\overrightarrow{AE}.\overrightarrow{DH}=0\)

 d) Ta có \(\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{BP}{BC}=\dfrac{AP+BP}{AC+BC}=\dfrac{AB}{5+8}=\dfrac{7}{13}\)

 \(\Rightarrow\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{7}{13}\Rightarrow AP=\dfrac{7}{13}AC=\dfrac{7}{13}.5=\dfrac{35}{13}\)

 Ta có \(AP^2=CA^2+CP^2-2.CA.CP.\cos ACP\)

 \(\Leftrightarrow CP^2-2.CP.5.\dfrac{\sqrt{3}}{2}+5^2-\left(\dfrac{35}{13}\right)^2=0\)

 \(\Leftrightarrow CP^2-5\sqrt{3}CP+\dfrac{3000}{169}=0\)

 \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}CP=\dfrac{25\sqrt{3}}{13}\\CP=\dfrac{40\sqrt{3}}{13}\end{matrix}\right.\)

 Tuy nhiên, ta thấy \(CP>\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\approx4,33\) trong khi \(CP=\dfrac{25\sqrt{3}}{13}\approx3,33\) nên không thỏa mãn còn \(CP=\dfrac{40\sqrt{3}}{13}\approx5,33\) thỏa mãn. Vậy \(CP=\dfrac{40\sqrt{3}}{13}\)

Có \(\sqrt{4\left(x^2+y^2\right)}=\sqrt{2.2\left(x^2+y^2\right)}\ge\sqrt{2}\left(x+y\right)\) 

(dùng BĐT \(\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge x+y\))

Do đó \(P\ge4\sqrt{2}\left(x+y\right)+\dfrac{8}{x+y}+1\)

\(=\dfrac{8}{x+y}+2\left(x+y\right)+\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(x+y\right)+1\)

\(\ge2\sqrt{\dfrac{8}{x+y}.2\left(x+y\right)}+\left(4\sqrt{2}-2\right).2+1\)

(áp dụng BĐT AM-GM và chú ý rằng \(x+y\ge2\))

\(=8+8\sqrt{2}-4+1\)

\(=5+8\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\x=y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=1\)

Vậy GTNN của P là \(5+8\sqrt{2}\) khi \(x=y=1\)