3

Ta có: p2−2q2=1p2-2q2=1

⇒p2=1+2q2    (1)⇒p2=1+2q2    (1)

Vì 1+2q21+2q2 lẻ

⇒p2⇒p2 lẻ

⇒p⇒p lẻ

⇒p⇒p có dạng 2k+12k+1

⇒p2=(2k+1)2=4k2+4k+1⇒p2=(2k+1)2=4k2+4k+1

Khi đó (1)⇔4k2+4k+1=1+2q2(1)⇔4k2+4k+1=1+2q2

⇒4k2+4k+1−1=2q2⇒4k2+4k+1-1=2q2

⇒4k2+4k=2q2⇒4k2+4k=2q2

⇒2(2k2+2k)=2q2⇒2(2k2+2k)=2q2

⇒2k2+2k=q2⇒2k2+2k=q2

Vì 2k2+ 2k2k2+ 2k chẵn

⇒q2⇒q2 chẵn

⇒q⇒q chẵn

Mà qq là số nguyên tố

⇒q=2⇒q=2

⇒p2−2.22=1⇒p2-2.22=1

⇒p2−2.4=1⇒p2-2.4=1

⇒p2−8=1⇒p2-8=1

⇒p2=9⇒p2=9

⇒p=3⇒p=3 (tm)

Vậy (p,q)=(3,2)

Sáp nhập nước ta vào lãnh thổ Trung Quốc, chia thành các đơn vị hành chính

TH1: n=1n=1 ⇒⇒ 2n+12n+2011n=2025=4522n+12n+2011n=2025=452 ⇒⇒ Thỏa mãn

Ta có: 12 ⋮ 312 ⋮ 3 ⇒⇒ 12n ⋮ 3 ∀ n∈N∗12n ⋮ 3 ∀ n∈ℕ∗

Ta có: 20112011 chia 33 dư 11 ⇒⇒ 2011n2011n chia 33 dư 11 với mọi n∈N∗n∈ℕ∗

TH2: nn chẵn ⇒⇒ 2n2n chia 33 dư 11

⇒⇒ 2n+12n+2011n2n+12n+2011n chia 33 dư 22

Mà một số chính phương không bao giờ chia 33 dư 22

⇒⇒ Loại

TH3: nn lẻ và n>1n>1 ⇒⇒ nn chia 44 dư 33 hoặc nn chia 44 dư 11

+)+) Với nn chia 44 dư 11 và n>1n>1

⇒⇒ 2n2n và 12n12n đều chia 55 dư 11

Thêm vào đó, 2011n2011n cũng chia 55 dư 11

⇒⇒ 2n+12n+2011n2n+12n+2011n chia 55 dư 33

Mà một số chính phương không bao giờ chia 55 dư 33

⇒⇒ Loại

+)+) Với nn chia 44 dư 33

⇒⇒ 2n2n và 12n12n đều có chữ số tận cùng là 88

Thêm vào đó, 2011n2011n luôn có chữ số tận cùng là 11

⇒⇒ 2n+12n+2011n2n+12n+2011n có chữ số tận cùng là 77

Mà một số chính phương không bao giờ tận cùng là 77

⇒⇒ Loại

Vậy n=1n=1 thỏa mãn đề bài