Ta có: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\) (1)

Lại có: \(a+b+c=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=\left[-2\left(ab+bc+ca\right)\right]^2=4\left[a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc\left(a+b+c\right)\right]\)

\(=4a^2b^2+4b^2c^2+4c^2a^2=2\left(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2\right)\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2=\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2}\) (đpcm)

\(S=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{64}+\dfrac{1}{128}\)

\(2S=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{64}\)

\(2S-S=\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{64}\right)-\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{64}+\dfrac{1}{128}\right)\)

\(S=1-\dfrac{1}{128}=\dfrac{127}{128}\)

Chọn C. mưa dầm

$\frac{5}{14}+\frac47+\frac{17}{7}-3$

$=\frac{5}{14}+(\frac47+\frac{17}{7}-3)$

$=\frac{5}{14}+(\frac{21}{7}-3)$

$=\frac{5}{14}+(3-3)$

$=\frac{5}{14}$

\(\left(3:x-1\right)\left(-\dfrac{1}{2}x+5\right)=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3:x-1=0\\-\dfrac{1}{2}x+5=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3:x=1\\-\dfrac{1}{2}x=-5\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\x=10\end{matrix}\right.\)

a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A: \(BC^2=AB^2+AC^2\) (đli Pythagore)

\(\Rightarrow BC^2=6^2+8^2=100\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\) (vì BC > 0)

Xét \(\Delta ABC\) có: \(AD\) là đường phân giác (gt)

\(\Rightarrow\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}\) (t/c) \(\Rightarrow\dfrac{BD}{3}=\dfrac{DC}{4}\)

Lại có: \(BD+DC=BC=10\left(cm\right)\) (do \(D\in BC\))            (1)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và (1), ta được:

\(\dfrac{BD}{3}=\dfrac{DC}{4}=\dfrac{BD+DC}{3+4}=\dfrac{10}{7}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BD=\dfrac{10}{7}\cdot3=\dfrac{30}{7}\left(cm\right)\\DC=\dfrac{10}{7}\cdot4=\dfrac{40}{7}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy: ...

b) Gọi \(DH\bot AB=\left\{H\right\}\)

Mà: \(AC\bot AB\) (\(\Delta ABC\) vuông tại A)

nên $DH//AC$

Xét \(\Delta ABC\) có: $DH//AC$ (cmt) \(\Rightarrow\dfrac{DH}{AC}=\dfrac{BD}{BC}\) (hệ quả đli Talet)

\(\Rightarrow\dfrac{DH}{8}=\dfrac{\dfrac{30}{7}}{10}=\dfrac{3}{7}\Rightarrow DH=\dfrac{3}{7}\cdot8=\dfrac{24}{7}\left(cm\right)\)

Vậy khoảng cách từ D đến AB dài \(\dfrac{24}{7}\left(cm\right)\).

c) Vì AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

nên \(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}\cdot90^{\circ}=45^{\circ}\)

hay \(\widehat{HAD}=45^{\circ}\) (do \(H\in AB\))

Xét \(\Delta AHD\) vuông tại H có: 

+, \(\widehat{HAD}=45^{\circ}\) (cmt)

\(\Rightarrow\Delta AHD\) vuông cân tại H \(\Rightarrow AH=DH=\dfrac{24}{7}\left(cm\right)\)

+, \(AD^2=AH^2+DH^2\) (đli Pythagore)

\(\Rightarrow AD^2=\left(\dfrac{24}{7}\right)^2+\left(\dfrac{24}{7}\right)^2=2\cdot\left(\dfrac{24}{7}\right)^2\)

\(\Rightarrow AD=\sqrt{2\cdot\left(\dfrac{24}{7}\right)^2}=\dfrac{24\sqrt{2}}{7}\left(cm\right)\) (vì AD > 0)

Vậy \(AD=\dfrac{24\sqrt{2}}{7}\left(cm\right)\).

$Toru$

a/ \(\dfrac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\dfrac{\left(3-\sqrt{3}\right)^2}{\left(3-\sqrt{3}\right)\left(3+\sqrt{3}\right)}=\dfrac{9-6\sqrt{3}+3}{9-3}\)

\(=\dfrac{6\left(2-\sqrt{3}\right)}{6}=2-\sqrt{3}\)

b/ ĐKXĐ: \(x>0\)

\(\dfrac{x-2}{\sqrt{x}}=1\)

\(\Rightarrow x-2=\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow x^2-4x+4=x\)

\(\Leftrightarrow x^2-5x+4=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-4x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\left(tmdk\right)\\x=4\left(tmdk\right)\end{matrix}\right.\)

Độ dài cạnh của bể nước là:

$32:4=8(cm)$

Thể tích bể nước là:

$8\times8\times8=512(cm^3)$

Thể tích nước trong bể là:

$512\times85\%=435,2(cm^3)$