Trong môn cầu lông, khi phát cầu, người chơi cần đánh cầu qua khỏi lưới sang phía sân đối phương và không được để cho cầu rơi ngoài biên. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, chọn điểm có tọa độ $\left(O;y_0\right)$ là điểm xuất phát thì phương trình quỹ đạo của cầu lông khi rời khỏi mặt vợt là: $y=\dfrac{-g.x^2}{2.v_{0}^{2}.\cos^{2}\alpha}+\tan (\alpha).x+y_0$; trong đó: $g$ là gia tốc trọng trường (thường được chọn là $9,8$ m/s$^{2}$; $\alpha$ là góc phát cầu (so với phương ngang của mặt đất); ${{v}_{0}}$ là vận tốc ban đầu của cầu; ${{y}_{0}}$ là khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất. Quỹ đạo chuyển động của quả cầu lông là một parabol như hình vẽ.

Một người chơi cầu lông đang đứng khoảng cách từ vị trí người này đến vị trí cầu rơi chạm đất (tầm bay xa) là $6,68$ m. Người chơi đó đã phát cầu với góc tối đa khoảng bao nhiêu độ so với mặt đất? (biết cầu rời mặt vợt ở độ cao $0,7$ m so với mặt đất và vận tốc xuất phát của cầu là $8$ m/s, bỏ qua sức cản của gió và xem quỹ đạo của cầu luôn nằm trong mặt phẳng thẳng đứng, làm tròn kết quả tới hàng đơn vị).

Trả lời:

Một chất điểm chuyển động thẳng với phương trình $s(t)$. Khi đó vận tốc tức thời tại thời điểm $t_0$ được định nghĩa là $\underset{\Delta t \to 0}{\mathop{\lim}} \dfrac{s(t_0+\Delta t)-s(t_0)}{\Delta t}$. Vận tốc tức thời của chất điểm có phương trình chuyển động $s(t)=5t^2-2t+3$ (trong đó $s(t)$ có đơn vị là mét, $t$ đơn vị là giây) tại thời điểm $t=3$ giây bằng bao nhiêu m/s?

Trả lời:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAB$, $I$ là trung điểm của $AB$ và $M$ là điểm trên cạnh $AD$. Biết rằng đường thẳng $MG$ song song với một mặt phẳng $(SCD)$. Tỉ số giữa hai đoạn thẳng $AM$ và $AD$ là bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trả lời:

Vào một thời điểm trong ngày, người ta quan sát thấy bóng râm của một thùng hàng dạng hình hộp chữ nhật $ABCD.EFGH$ là hình chiếu của thùng hàng đó lên mặt đất với phương chiếu $GM$ song song với các tia sáng mặt trời (các tia sáng mặt trời được xem là các đường thẳng song song với nhau), $M$ trùng với điểm đối xứng với $A$ qua $D$. Tính diện tích phần bóng râm được tô màu trong hình vẽ bên dưới, biết rằng $BC=8$ m, $CD=2$ m và $CG=4$ m. (kết quả tính theo đơn vị m$^2$)

Trả lời:

Cho dãy số $(u_n )$ xác định bởi $u_n=\dfrac{an^2-1}{n^2+3}$ với $n \ge 1$. Tìm giá trị nguyên $a$ nhỏ nhất để dãy số $(u_n )$ tăng.

Trả lời:

Có bao nhiêu điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình $\cos x-\sqrt{3}\cos 2x=\sin 2x+\sqrt{3}\sin x$ trên đường tròn lượng giác?

Trả lời: