1. Tỉ số lượng giác của một góc nhọn a. Khái niệm
Cho góc nhọn α \alpha α A B C ABC A BC A A A B ^ = α \widehat{B} = \alpha B = α
⚡Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của góc α \alpha α sin α \sin \alpha sin α
sin α \sin \alpha sin α
⚡Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là côsin của góc α \alpha α cos α \cos \alpha cos α
cos α \cos \alpha cos α
⚡Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của góc α \alpha α tan α \tan \alpha tan α
tan α \tan \alpha tan α
⚡Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là côtang của góc α \alpha α cot α \cot \alpha cot α
cot α \cot \alpha cot α
Ví dụ 1 . Tính các tỉ số lượng giác của góc B B B A B C ABC A BC
Lời giải
Xét tam giác A B C ABC A BC A ^ = 9 0 ∘ \widehat{A} = 90^\circ A = 9 0 ∘ B B B
sin B = A C B C = 9 15 = 0 , 6 \sin B = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac9{15} = 0,6 sin B = BC A C = 15 9 = 0 , 6
cos B = A B B C = 12 15 = 0 , 8 \cos B = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{12}{15} = 0,8 cos B = BC A B = 15 12 = 0 , 8
tan B = A C A B = 9 12 = 0 , 75 \tan B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac9{12} = 0,75 tan B = A B A C = 12 9 = 0 , 75
cot B = A B A C = 4 3 \cot B = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac43 cot B = A C A B = 3 4
b. Lưu ý + Khi không sợ nhầm lẫn, ta có thể viết sin B \sin B sin B cos B \cos B cos B tan B \tan B tan B cot B \cot B cot B sin B ^ \sin \widehat{B} sin B cos B ^ \cos \widehat{B} cos B tan B ^ \tan \widehat{B} tan B cot B ^ \cot \widehat{B} cot B
+ Các tỉ số lượng giác của góc nhọn a a a sin a < 1 \sin a < 1 sin a < 1 cos a < 1 \cos a < 1 cos a < 1 cot a = 1 tan a \cot a = \dfrac1{\tan a} cot a = tan a 1
Cho tam giác A B C ABC A BC A A A A B = 3 AB = 3 A B = 3 A C = 4 AC = 4 A C = 4 sin B \sin B sin B cos B \cos B cos B tan B \tan B tan B
Lời giải
Xét tam giác A B C ABC A BC A A A B B B
Theo định lí Pythagore ta có: B C 2 = A C 2 + A B 2 = 4 2 + 3 2 = 25 BC^2 = AC^2 + AB^2 = 4^2 + 3^2 = 25 B C 2 = A C 2 + A B 2 = 4 2 + 3 2 = 25 B C = BC = BC =
Theo định nghĩa, ta có:
sin B = \sin B = sin B =
cos B = \cos B = cos B =
tan B = \tan B = tan B =
5 5 5 B C A C \dfrac{BC}{AC} A C BC A B A C \dfrac{AB}{AC} A C A B 5 3 \dfrac53 3 5 A C A B \dfrac{AC}{AB} A B A C 4 3 \dfrac43 3 4 A C B C \dfrac{AC}{BC} BC A C 4 5 \dfrac45 5 4 3 5 \dfrac35 5 3 B C A B \dfrac{BC}{AB} A B BC 25 25 25 5 4 \dfrac54 4 5 3 4 \dfrac34 4 3 A B B C \dfrac{AB}{BC} BC A B (Kéo thả hoặc click vào để điền)
c) Tỉ số lượng giác của góc nhọn đặc biệt
α \alpha α sin α \sin \alpha sin α
cos α \cos \alpha cos α
tan α \tan \alpha tan α
cot α \cot \alpha cot α
3 0 ∘ 30^\circ 3 0 ∘
1 2 \dfrac12 2 1 3 2 \dfrac{\sqrt3}2 2 3 3 3 \dfrac{\sqrt3}3 3 3 3 \sqrt3 3
4 5 ∘ 45^\circ 4 5 ∘ 2 2 \dfrac{\sqrt2}2 2 2 2 2 \dfrac{\sqrt2}2 2 2 1 1 1 1 1 1
6 0 ∘ 60^\circ 6 0 ∘ 3 2 \dfrac{\sqrt3}2 2 3 1 2 \dfrac12 2 1 3 \sqrt3 3 3 3 \dfrac{\sqrt3}3 3 3
Ví dụ 2 . Tính giá trị của biểu thức P = sin 3 0 ∘ . cos 6 0 ∘ tan 4 5 ∘ P = \dfrac{\sin 30^\circ . \cos 60^\circ}{\tan 45^\circ} P = tan 4 5 ∘ sin 3 0 ∘ . cos 6 0 ∘
Lời giải
P = sin 3 0 ∘ . cos 6 0 ∘ tan 4 5 ∘ = 1 2 . 1 2 1 = 1 4 . P = \dfrac{\sin 30^\circ . \cos 60^\circ}{\tan 45^\circ} = \dfrac{\dfrac12 . \dfrac12}1 = \dfrac14. P = tan 4 5 ∘ sin 3 0 ∘ . cos 6 0 ∘ = 1 2 1 . 2 1 = 4 1 .
Giá trị của sin 3 0 ∘ − cos 6 0 ∘ \sin 30^\circ - \cos 60^\circ sin 3 0 ∘ − cos 6 0 ∘
2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau Định lí Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.
Với 0 ∘ < a < 9 0 ∘ 0^\circ < a < 90^\circ 0 ∘ < a < 9 0 ∘
⚡sin ( 9 0 ∘ − a ) = cos a \sin (90^\circ - a) = \cos a sin ( 9 0 ∘ − a ) = cos a cos ( 9 0 ∘ − a ) = sin a \cos (90^\circ - a) = \sin a cos ( 9 0 ∘ − a ) = sin a
⚡tan ( 9 0 ∘ − a ) = cot a \tan (90^\circ - a) = \cot a tan ( 9 0 ∘ − a ) = cot a cot ( 9 0 ∘ − a ) = tan a \cot (90^\circ - a) = \tan a cot ( 9 0 ∘ − a ) = tan a
Ví dụ 3 . Viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của góc nhỏ hơn 4 5 ∘ 45^\circ 4 5 ∘
a) sin 6 0 ∘ \sin 60^\circ sin 6 0 ∘
b) cot 8 2 ∘ \cot 82^\circ cot 8 2 ∘
Lời giải
a) sin 6 0 ∘ = cos 3 0 ∘ \sin 60^\circ = \cos 30^\circ sin 6 0 ∘ = cos 3 0 ∘
b) cot 8 2 ∘ = tan 8 ∘ \cot 82^\circ = \tan 8^\circ cot 8 2 ∘ = tan 8 ∘
Tia nắng chiếu qua điểm B B B x x x A B AB A B y y y cos x ≈ 0 , 78 \cos x \approx 0,78 cos x ≈ 0 , 78 cot x ≈ 1 , 25 \cot x \approx 1,25 cot x ≈ 1 , 25 sin y + tan y \sin y + \tan y sin y + tan y
Trả lời:
