a) \(\dfrac{1}{\tan\alpha+1}+\dfrac{1}{\cot\alpha+1}\) \(=\dfrac{\tan\alpha+1+\cot\alpha+1}{\left(\tan\alpha+1\right)\left(\cot\alpha+1\right)}\) \(=\dfrac{\tan\alpha+\cot\alpha+2}{\tan\alpha\cot\alpha+\tan\alpha+\cot\alpha+1}\) \(=1\) (vì \(\tan\alpha\cot\alpha=1\))

b) \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)-\sin\left(\pi+\alpha\right)\) \(=\sin\left(\alpha\right)-\sin\left(\pi-\alpha\right)\) \(=0\) (do \(\sin\) của 2 cung bù nhau thì bằng nhau, \(\cos\) của 1 góc bằng \(\sin\) của góc phụ với nó).

c) \(\sin\left(\alpha-\dfrac{\pi}{2}\right)+\cos\left(-\alpha+6\pi\right)-\tan\left(\alpha+\pi\right)\cot\left(3\pi-\alpha\right)\)

\(=\cos\left(\pi-\alpha\right)+\cos\left(-\alpha\right)-\tan\alpha\cot\left(\pi-\alpha\right)\)

\(=\tan\alpha\cot\alpha\) \(=1\) (ở đây áp dụng tính chất của 2 cung hơn kém \(\pi\) nhiều lần)

S A B C D H K O M

Trong mp(SAB) từ S dựng dường vuông góc với AB cắt AB tại H

Ta có

\(\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\) và AB là giao tuyến của 2 mp

\(SH\perp AB\)

\(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp CK\) (1)

Ta có AB=BC=CD=AD=a (gt)

DH cắt CK tại O

Xét tg vuông ADH và tg vuông DCK

AD=CD=a

\(AH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}\)

\(DK=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{a}{2}\)

=> tg ADK = tg DCK \(\Rightarrow\widehat{AHD}=\widehat{DKC}\)

Mà \(\widehat{ADH}+\widehat{AHD}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ADH}+\widehat{DKC}=90^o\) 

=> tg DOK vuông tạo O \(\Rightarrow CK\perp DH\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow CK\perp\left(SDH\right)\) 

Trong mp (SDH) từ O dựng đường thẳng vuông góc với SD cắt SD tại M

Ta có \(CK\perp\left(SDH\right);OM\in\left(SDH\right)\Rightarrow CK\perp OM\)

=> OM cùng vuông góc với SD và CK => OM là khoảng cách giữa SD và CK

Do SAB là tg đều => SA=SB=AB=a

Xét tg vuông SAH

\(SH=\sqrt{SA^2-AH^2}=\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Xét tg vuông ADH

\(DH=\sqrt{AD^2+AH^2}=\sqrt{a^2+\dfrac{a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)

Ta có \(SH\perp\left(ABCD\right)\left(cmt\right);DH\in\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp DH\)

Xét tg vuông SDH

\(SD=\sqrt{SH^2+DH^2}=\sqrt{\dfrac{3a^2}{4}+\dfrac{5a^2}{4}}=a\sqrt{2}\)

Xét tg vuông ODK và tg vuông ADH có chung \(\widehat{ADH}\)

=> tg ODK đồng dạng với tg ADH

\(\Rightarrow\dfrac{DO}{AD}=\dfrac{DK}{DH}\Rightarrow DO=\dfrac{AD.DK}{DH}=\dfrac{a.\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)

Xét tg vuông ODM và tg vuông SDH có chung \(\widehat{SDH}\)

=> tg ODM đồng dạng với tg SDH

\(\Rightarrow\dfrac{OM}{SH}=\dfrac{DO}{SD}\Rightarrow OM=\dfrac{SH.DO}{SD}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a\sqrt{5}}{5}}{a\sqrt{2}}\)

Phần tính toán bạn kiểm tra lại nhé, đại khái cách làm là như thế

0,142857142857142857142857142857142857142857