Huyện X có tất cả \(2010^2\) học sinh. Một hôm, vì tổ chức buổi lễ long trọng nên huyện quyết định tập hợp tất cả \(2010^2\) học sinh này ở quảng trường. Ở đó các chỗ ngồi dành cho các học sinh được xếp theo một bảng vuông \(2010\times2010\). Sau khi tất cả học sinh đã ngồi vào chỗ của mình, ban tổ chức buổi lễ đã nhận thấy một điều thú vị như sau: Xung quanh một nữ sinh bất kì không ngồi ở mép bảng vuông thì có đúng 5 nam sinh ngồi còn xung quanh một nam sinh bất kì (cũng không ngồi ở mép bảng vuông) thì có đúng 4 nữ sinh ngồi xung quanh. Hỏi huyện X có bao nhiêu nam sinh và bao nhiêu nữ sinh? 

 Cho bàn cờ hình chữ nhật \(C\) kích thước \(m\times n\) với \(M\) là tập hợp các vị trí cấm. Đặt \(p=min\left\{m,n\right\}\). Gọi \(r_k\left(M\right)\) là số cách đặt \(k\) quân xe không ăn nhau trên bàn cờ \(M\), chứng minh rằng:

 \(r_k\left(C\backslash M\right)=\sum\limits^k_{l=0}\dfrac{\left(m-l\right)!\left(n-l!\right)}{\left(m-k\right)!\left(n-k\right)!\left(k-l\right)!}r_l\left(M\right)\)

 Cờ vua 1D là trò chơi chiến thuật dành cho 2 người diễn ra trên 1 bàn cờ kích thước 1x8 với vị trí các quân ban đầu như hình vẽ:

 Bên trắng luôn là bên đi trước. Các quân cờ đi theo luật sau:

 1. Quân xe đi ngang với số ô tùy ý nhưng không được đi xuyên qua quân khác, không đi vào ô chứa quân cờ cùng màu nhưng được ăn quân của đối thủ.

 2. Quân mã đi ngang 2 ô và được đi xuyên qua quân khác. Chẳng hạn hình bên dưới, quân mã ở vị trí số 3 có thể nhảy về vị trí 1 hoặc "đi xuyên" qua quân xe đen để đến vị trí 5. Mã cũng không được nhảy vào ô đã có quân cùng màu ở đó nhưng được bắt quân của đối thủ.

 3. Quân vua có thể đi ngang 1 ô nhưng không được đi vào phạm vi tấn công của quân đối phương và hiển nhiên cũng không được đi đến những ô có quân cùng màu ở đó (vẫn được ăn quân đối thủ nếu quân này không được bảo vệ)

 Luật thắng/ thua/ hòa được xác định như sau:

 Thắng/ Thua: Một bên được công nhận là thắng nếu "chiếu" được vua đối phương mà không còn nước đi hợp lệ nào cản phá. Ví dụ trong trường hợp sau, ta thấy mã trắng chiếu vua đen nhưng vua đen không thể di chuyển và mã đen cũng không làm gì được nên bên trắng thắng.

 Hòa: Nếu xảy ra 1 trong các trường hợp sau:

 TH1: Hòa PAT: Xảy ra khi đến lượt 1 bên đi mà họ không còn nước đi nào hợp lệ trong khi vua không bị chiếu. Chẳng hạn như trong hình, đến lượt bên đen đi mà vua đen không bị chiếu nhưng đen chẳng thể di chuyển vua và mã nên ván cờ này được xử hòa.

 TH2: Bất biến 3 lần: Xảy ra khi cả 2 bên lặp lại cùng một thế trận 3 lần (cái này thì dễ hình dung rồi)

 Hỏi từ vị trí ban đầu, với ưu thế của người đi trước thì liệu có chiến thuật thắng nào dành cho bên trắng không?