Đặt \(\left(x;y;z\right)\rightarrow\left(a;\frac{1}{b};c\right)\Rightarrow x+y+z=3\)

Khi đó:

\(M=\frac{1}{x+1}+\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{xyz+3}\)

\(\ge\frac{9}{x+xy+xyz+5}\)

Mà theo AM - GM:

\(x+xy+xyz=x\left(1+y+yz\right)=x\left[1+y\left(z+1\right)\right]\le x\left[1+\left(\frac{4-x}{2}\right)^2\right]\)

\(=4-\frac{\left(x-2\right)^2\left(4-x\right)}{4}\le4\)

Đẳng thức xảy ra tại \(x=2;y=1;z=0\)

Vào TKHĐ của mình để xem hình ảnh nhé !

Cre: Chủ tịch học toán

\(M\le\frac{1}{4}\Sigma\frac{\left(a+b\right)^2}{b^2+c^2+c^2+a^2}\le\frac{1}{4}\Sigma\left(\frac{b^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{c^2+a^2}\right)=\frac{3}{4}\)

\(x^2+1+\sqrt{x^2}-4x+1\ge3\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow x^2+3-3x\ge3\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+3-3x\right)^2\ge9x\)

\(\Leftrightarrow x^4+15x^2-6x^3+9-18x\ge9x\)

\(\Leftrightarrow x^4+15x^2-6x^3+9-27x\ge0\)

Mình nghĩ đề này là: \(x^2+1+\sqrt{x^2-4x+1}=3\sqrt{x}\)

Nhưng  mình vẫn không nghĩ đây là đề chính xác. Bạn xem lại đề ạ.

+) Phương trình đường cao qua B : 2x - y + 1 = 0 

=> Phương trình AC có dạng : x + 2y + c = 0 

Vì A ( 2; -1 ) thuộc AC => 2 + 2 ( -1 ) + c = 0 => c = 0

=> Phương trình AC: x + 2y = 0 

=> Tọa độ điểm C thỏa mãn phương trình AC và đường cao qua C 

nên là nghiệm của hệ pt: \(\hept{\begin{cases}x+2y=0\\3x+y+2=0\end{cases}}\)<=> C ( -4/5; 2/5) 

+) Phương trình đường cao qua B : 3x + y + 2 = 0 

=> Phương trình AB có dạng : x - 3y + b = 0 

Vì A ( 2; -1 ) thuộc AB => 2 - 3 ( -1 ) + b= 0 => c = -5

=> Phương trình AB: x -3y -5 = 0 

=> Tọa độ điểm B thỏa mãn phương trình AB và đường cao qua CB

nên là nghiệm của hệ pt: \(\hept{\begin{cases}2x-y+1=0\\x-3y-5=0\end{cases}}\)<=> C ( -8/5; -11/5) 

+) M là trung điêm BC => M ( -6/5; -9/10 ) 

Mà A ( 2; -1) 

=> \(\overrightarrow{MA}=\left(\frac{16}{5};-\frac{1}{10}\right)\)

=> MA có véc tơ pháp tuyến: ( 1/10; 16/5)

=> Viết phương trình MA : 1/10 ( x- 2 ) + 16/5 ( y+ 1 ) = 0 

<=> x + 32y+ 30 = 0