Ta có \(BC=BD+CD=35\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý phân giác:

\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{15}{20}=\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow AB=\dfrac{3}{4}AC\)

Áp dụng định lý Pitago:

\(AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow\dfrac{9}{16}AC^2+AC^2=35^2\)

\(\Rightarrow AC^2=784\Rightarrow AC=28\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AB=\dfrac{3}{4}AC=21\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC:

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{63}{5}\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\dfrac{84}{5}\left(cm\right)\)

\(HD=BD-BH=\dfrac{12}{5}\left(cm\right)\)

Áp dụng Pitago trong tam giác vuông ADH:

\(AD=\sqrt{AH^2+HD^2}=12\sqrt{2}\left(cm\right)\)

a.

Ta có: \(\widehat{BAE}+\widehat{BAC}+\widehat{CAF}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BAE}+90^0+\widehat{CAF}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BAE}+\widehat{CAF}=90^0\) (1)

Lại có \(BE\perp d\Rightarrow\Delta BAE\) vuông tại E

\(\Rightarrow\widehat{BAE}+\widehat{ABE}=90^0\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow\widehat{CAF}=\widehat{ABE}\)

Xét hai tam giác ABE và CAF có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABE}=\widehat{CAF}\\\widehat{AEB}=\widehat{CFA}=90^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ABE\sim\Delta CAF\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{CF}=\dfrac{BE}{AF}\Rightarrow AE.AF=BE.CF\)

b.

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC\Rightarrow AC=\dfrac{2S_{ABC}}{AB}=\dfrac{2.24}{6}=8\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng:

\(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{\sqrt{AB^2+AC^2}}=\dfrac{6.8}{\sqrt{6^2+8^2}}=4,8\left(cm\right)\)

ΔMNP vuông tại M

=>\(\widehat{MNP}+\widehat{P}=90^0\)

=>\(\widehat{N}=90^0-45^0=45^0\)

Xét ΔMNP vuông tại M có \(tanP=\dfrac{MN}{MP}\)

=>\(\dfrac{10}{MP}=tan45=1\)

=>MP=10(cm)

ΔMNP vuông tại M

=>\(MN^2+MP^2=NP^2\)

=>\(NP=\sqrt{10^2+10^2}=10\sqrt{2}\left(cm\right)\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}\left(2+\sqrt{3}\right)}{2+\sqrt{4+2\sqrt{3}}}+\dfrac{\sqrt{2}\left(2-\sqrt{3}\right)}{2-\sqrt{4-2\sqrt{3}}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}\left(2+\sqrt{3}\right)}{2+\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}}+\dfrac{\sqrt{2}\left(2-\sqrt{3}\right)}{2-\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}}\)

\(=\dfrac{\sqrt{2}\left(2+\sqrt{3}\right)}{2+\sqrt{3}+1}+\dfrac{\sqrt{2}\left(2-\sqrt{3}\right)}{2-\left(\sqrt{3}-1\right)}=\sqrt{2}\left(\dfrac{2+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}+\dfrac{2-\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}\right)\)

\(=\sqrt{2}\left(\dfrac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(3-\sqrt{3}\right)+\left(2-\sqrt{3}\right)\left(3+\sqrt{3}\right)}{\left(3+\sqrt{3}\right)\left(3-\sqrt{3}\right)}\right)\)

\(=\sqrt{2}\left(\dfrac{6}{9-3}\right)=\sqrt{2}\)

Có \(a^4+b^4+c^4=\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(c^2\right)^2\)

\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\) 

\(\ge\dfrac{\left(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right)^2}{3}\)  (áp dụng 2 lần BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\))

\(=\dfrac{\left(\dfrac{4^2}{3}\right)^2}{3}=\dfrac{256}{27}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{4}{3}\)

Vậy \(minP=\dfrac{256}{27}\) khi \(a=b=c=\dfrac{4}{3}\)

Min P dễ em có thể tự tìm đơn giản bằng AM-GM

\(P=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)^2+4abc\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)^2+16abc\)

Do \(0\le a;b;c\le3\Rightarrow\left(3-a\right)\left(3-b\right)\left(3-c\right)\ge0\)

\(\Rightarrow3\left(ab+bc+ca\right)-9\left(a+b+c\right)+27-abc\ge0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge\dfrac{abc+9}{3}\)

\(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=16-2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\le16-\dfrac{2}{3}\left(abc+9\right)\)

Do đó:

\(P\le\left[16-\dfrac{2}{3}\left(abc+9\right)\right]^2-2\left(\dfrac{abc+9}{3}\right)^2+16abc\)

Đặt \(abc=x\Rightarrow0\le x\le\dfrac{64}{27}\)

\(P\le\left[16-\dfrac{2}{3}\left(x+9\right)\right]^2-2\left(\dfrac{x+9}{3}\right)^2+16x\)

\(P\le\dfrac{2}{9}\left(x^2-6x+369\right)\)

\(P\le\dfrac{2}{9}x\left(x-6\right)+82\)

Do \(0\le x\le\dfrac{64}{27}\Rightarrow x-6< 0\Rightarrow\dfrac{2}{9}x\left(x-6\right)\le0\)

\(\Rightarrow P\le82\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;3\right)\) và các hoán vị

Đề yêu cầu chứng minh hay tìm \(x;y\) vậy em nhỉ?

Gọi số cần tìm là \(\overline{xy}\) với x;y là các chữ số từ 0 tới 9, `x \ne 0`

Do tổng chữ số hàng chục và 2 lần chữ số hàng đơn vị là 12 nên ta có:

\(x+2y=12\) (1)

Sau khi thêm chữ số 0 vào giữa ta được số mới là: \(\overline{x0y}\)

Do số mới hơn số cũ 180 đơn vị nên ta có pt:

\(\overline{x0y}-\overline{xy}=180\Leftrightarrow100x+y-\left(10x+y\right)=180\)

\(\Leftrightarrow90x=180\)

\(\Leftrightarrow x=2\)

Thay vào (1) \(\Rightarrow2+2y=12\Rightarrow y=5\)

Vậy số đó là 25

a: Thay m=3 vào hệ, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=1\\3x+\left(3+1\right)y=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=1\\3x+4y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+4y-3x-2y=-1-1\\3x+2y=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2y=-2\\3x=1-2y=1-\left(-2\right)=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=1\end{matrix}\right.\)

b:

để hệ có vô số nghiệm thì \(\dfrac{m}{3}=\dfrac{2}{m+1}=\dfrac{1}{-1}\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m^2+m=6\\m+1=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m+3\right)\left(m-2\right)=0\\m=-3\end{matrix}\right.\)

=>m=-3

Để hệ vô nghiệm thì \(\dfrac{m}{3}=\dfrac{2}{m+1}\ne\dfrac{1}{-1}=-1\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m^2+m=6\\m+1\ne-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m+3\right)\left(m-2\right)=0\\m\ne-3\end{matrix}\right.\)

=>m=2

Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{m}{3}\ne\dfrac{2}{m+1}\)

=>\(m^2+m\ne6\)

=>\(m^2+m-6\ne0\)

=>(m+3)(m-2)<>0

=>\(m\notin\left\{-3;2\right\}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}mx+2y=1\\3x+\left(m+1\right)y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3mx+6y=3\\3mx+\left(m^2+m\right)y=-m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3mx+\left(m^2+m\right)y-3mx-6y=-m-3\\mx+2y=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y\left(m+3\right)\left(m-2\right)=-\left(m+3\right)\\mx+2y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{-1}{m-2}\\mx=1-2y=1+\dfrac{2}{m-2}=\dfrac{m-2+2}{m-2}=\dfrac{m}{m-2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{1}{m-2}\\x=\dfrac{1}{m-2}\end{matrix}\right.\)

c: Để hệ có nghiệm duy nhất là số nguyên thì \(\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{-3;2\right\}\\m-2\inƯC\left(1;-1\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{-3;2\right\}\\m-2\in\left\{1;-1\right\}\end{matrix}\right.\)

=>\(m\in\left\{3;1\right\}\)