Tổng tài óc tuất
Giới thiệu về bản thân
...
0
0
0
0
0
0
0
2026-08-06 20:42:45
Lời giải:Vì \(a, b, c\) là các số thực dương, áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số, ta có:
\(b + 1 \ge 2\sqrt{b}\)
\(c + 1 \ge 2\sqrt{c}\)Nhân hai bất đẳng thức trên vế theo vế (do các vế đều dương), ta được:
\((b+1)(c+1) \ge 4\sqrt{bc}\)Từ giả thiết \(abc = 1\), ta suy ra \(bc = \frac{1}{a}\), do đó \(\sqrt{bc} = \frac{1}{\sqrt{a}}\). Thay vào bất đẳng thức trên:
\((b+1)(c+1) \ge \frac{4}{\sqrt{a}}\)Chia cả hai vế cho \(a^{2}\), ta có:
\(\frac{(b+1)(c+1)}{a^2} \ge \frac{4}{a^2\sqrt{a}} = \frac{4}{a^{5/2}}\)Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được:
\(\frac{(c+1)(a+1)}{b^2} \ge \frac{4}{b^{5/2}}\)
\(\frac{(a+1)(b+1)}{c^2} \ge \frac{4}{c^{5/2}}\)Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế, ta thu được:
\(\frac{(b+1)(c+1)}{a^2} + \frac{(c+1)(a+1)}{b^2} + \frac{(a+1)(b+1)}{c^2} \ge 4 \left( \frac{1}{a^{5/2}} + \frac{1}{b^{5/2}} + \frac{1}{c^{5/2}} \right)\)Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương \(\frac{1}{a^{5/2}}, \frac{1}{b^{5/2}}, \frac{1}{c^{5/2}}\):
\(\frac{1}{a^{5/2}} + \frac{1}{b^{5/2}} + \frac{1}{c^{5/2}} \ge 3 \sqrt[3]{\frac{1}{a^{5/2} \cdot b^{5/2} \cdot c^{5/2}}} = 3 \sqrt[3]{\frac{1}{(abc)^{5/2}}}\)Vì \(abc = 1\) nên \(\frac{1}{(abc)^{5/2}} = 1\), suy ra:
\(\frac{1}{a^{5/2}} + \frac{1}{b^{5/2}} + \frac{1}{c^{5/2}} \ge 3\)Từ đó, ta có:
\(\frac{(b+1)(c+1)}{a^2} + \frac{(c+1)(a+1)}{b^2} + \frac{(a+1)(b+1)}{c^2} \ge 4 \times 3 = 12\)Vì \(12 \ge 1\), bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1\).
\(b + 1 \ge 2\sqrt{b}\)
\(c + 1 \ge 2\sqrt{c}\)Nhân hai bất đẳng thức trên vế theo vế (do các vế đều dương), ta được:
\((b+1)(c+1) \ge 4\sqrt{bc}\)Từ giả thiết \(abc = 1\), ta suy ra \(bc = \frac{1}{a}\), do đó \(\sqrt{bc} = \frac{1}{\sqrt{a}}\). Thay vào bất đẳng thức trên:
\((b+1)(c+1) \ge \frac{4}{\sqrt{a}}\)Chia cả hai vế cho \(a^{2}\), ta có:
\(\frac{(b+1)(c+1)}{a^2} \ge \frac{4}{a^2\sqrt{a}} = \frac{4}{a^{5/2}}\)Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được:
\(\frac{(c+1)(a+1)}{b^2} \ge \frac{4}{b^{5/2}}\)
\(\frac{(a+1)(b+1)}{c^2} \ge \frac{4}{c^{5/2}}\)Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế, ta thu được:
\(\frac{(b+1)(c+1)}{a^2} + \frac{(c+1)(a+1)}{b^2} + \frac{(a+1)(b+1)}{c^2} \ge 4 \left( \frac{1}{a^{5/2}} + \frac{1}{b^{5/2}} + \frac{1}{c^{5/2}} \right)\)Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương \(\frac{1}{a^{5/2}}, \frac{1}{b^{5/2}}, \frac{1}{c^{5/2}}\):
\(\frac{1}{a^{5/2}} + \frac{1}{b^{5/2}} + \frac{1}{c^{5/2}} \ge 3 \sqrt[3]{\frac{1}{a^{5/2} \cdot b^{5/2} \cdot c^{5/2}}} = 3 \sqrt[3]{\frac{1}{(abc)^{5/2}}}\)Vì \(abc = 1\) nên \(\frac{1}{(abc)^{5/2}} = 1\), suy ra:
\(\frac{1}{a^{5/2}} + \frac{1}{b^{5/2}} + \frac{1}{c^{5/2}} \ge 3\)Từ đó, ta có:
\(\frac{(b+1)(c+1)}{a^2} + \frac{(c+1)(a+1)}{b^2} + \frac{(a+1)(b+1)}{c^2} \ge 4 \times 3 = 12\)Vì \(12 \ge 1\), bất đẳng thức ban đầu được chứng minh.Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1\).
2026-08-06 20:32:29
\nhờ sự kết hợp giữa văn hóa truyền thống phong phú, ngành công nghiệp sáng tạo lâu đời, hệ thống xuất bản mạnh mẽ, và khả năng nắm bắt tâm lý con người rất sâu sắc.
2026-08-06 20:31:57
đừng cs đăng linh tinh
2026-08-06 20:30:31
@ ↳ 𝗄𝖾𝗆 𝗏𝗂̣ 𝗏𝖺𝗇𝗂 ☕︎ ⁽ 𝗌𝗁𝗂𝗇 𝗂𝗌 𝗆𝗂𝗇𝖾? ⁾ viết j vậy
2026-08-06 20:27:02
hỏi j vậy
2026-08-06 20:25:52
tên đọc ko hiểu cái j
2026-08-06 20:23:36
tức thì cx đừng cs chửi tục
2026-08-06 20:19:33
đừng có đăng linh tinh là đc
2026-08-06 20:14:15
rp
2026-08-06 20:11:44
thì viết đủ 3 phần