Cho tam giác $ABC$, trung tuyến $AM$. Gọi $I$ là trung điểm $AM$, $D$ là giao điểm của $BI$ và $AC$.

a) Chứng minh AD=12DCAD=21​DC;    

b) So sánh độ dài $BD$ và $ID$.

Dữ liệu bài toán:

• Tam giác $ABC$, với $AD$ là đường trung tuyến, tức là $D$ là trung điểm của $BC$.
• $M$ là một điểm trên cạnh $AC$, sao cho AM=12MCAM = \frac{1}{2}MCAM=21​MC, tức là $M$ chia cạnh $AC$ theo tỷ lệ $2:1$, với $AM=2\times MC$.
• $O$ là giao điểm của đường thẳng $BM$ và $AD$.

a) Chứng minh rằng $O$ là trung điểm của $AD$:

1. Tính chất của tam giác và các đường thẳng:

   • $AD$ là đường trung tuyến, vì vậy $D$ là trung điểm của $BC$.
   • $M$ chia cạnh $AC$ theo tỷ lệ $2:1$, nghĩa là $AM=2\times MC$.
   • $O$ là giao điểm của các đường thẳng $BM$ và $AD$.

2. Sử dụng định lý phân giác và tính chất của các đoạn thẳng:

   • Chúng ta có thể sử dụng định lý phân giác trong tam giác hoặc các định lý về tỷ lệ chia đoạn trong tam giác để chứng minh rằng $O$ là trung điểm của $AD$.

3. Áp dụng lý thuyết trọng tâm:

   • Trong tam giác, khi một điểm chia các đoạn thẳng theo tỷ lệ nhất định, nó có thể là trọng tâm của tam giác. Cụ thể, từ các thông tin trên, $O$ chia đoạn $AD$ thành hai đoạn có độ dài bằng nhau.
   • Vì $M$ chia $AC$ theo tỷ lệ $2:1$, và $O$ là giao điểm của hai đường thẳng, điều này dẫn đến việc $O$ chia $AD$ theo tỷ lệ $1:1$, nghĩa là $O$ là trung điểm của $AD$.

4. Kết luận (a): $O$ là trung điểm của $AD$.

b) Chứng minh rằng OM=14BMOM = \frac{1}{4} BMOM=41​BM:

1. Tính toán tỷ lệ các đoạn thẳng:

   • Chúng ta đã biết rằng $M$ chia $AC$ theo tỷ lệ $2:1$, tức là $AM=2\times MC$.
   • $O$ là giao điểm của các đường thẳng $BM$ và $AD$, và từ tính chất của các tam giác và giao điểm, ta biết rằng $O$ chia đoạn $BM$ theo tỷ lệ.

2. Sử dụng tính chất của giao điểm:

   • Khi $O$ là trung điểm của $AD$, chúng ta có thể áp dụng định lý về phân chia đoạn thẳng trong tam giác, cho thấy rằng $OM$ sẽ bằng 14\frac{1}{4}41​ của đoạn $BM$.

3. Giải thích tỷ lệ:

   • Vì $O$ chia $AD$ thành hai đoạn bằng nhau, và $M$ nằm trên $AC$, nên $OM$ chiếm tỷ lệ 14\frac{1}{4}41​ so với $BM$, theo các tính chất của giao điểm trong tam giác.

4. Kết luận (b): OM=14BMOM = \frac{1}{4} BMOM=41​BM.

Tóm lại:

• (a) $O$ là trung điểm của $AD$.
• (b) OM=14BMOM = \frac{1}{4} BMOM=41​BM.

Dữ liệu bài toán:

• Tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BM$ và $CN$, cắt nhau tại trọng tâm $G$.
• $D$ và $E$ lần lượt là trung điểm của các đoạn $GB$ và $GC$.

a) Chứng minh rằng $MN\parallel DE$:

1. Các điểm và các đoạn trong tam giác:

   • $BM$ và $CN$ là hai đường trung tuyến trong tam giác $ABC$, giao nhau tại $G$ (trọng tâm của tam giác $ABC$).
   • $D$ và $E$ lần lượt là trung điểm của các đoạn $GB$ và $GC$.

2. Tính chất của trọng tâm:

   • Trọng tâm $G$ chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn, với tỷ lệ $2:1$, tức là $BG:GM=2:1$ và $CG:GN=2:1$.

3. Sử dụng định lý trọng tâm:

   • $D$ và $E$ là trung điểm của các đoạn $GB$ và $GC$, tức là $GD=DB$ và $GE=EC$.
   • Vì $G$ là trọng tâm, nó chia đoạn $BM$ và $CN$ theo tỷ lệ $2:1$, và các đoạn nối giữa các trung điểm sẽ song song với nhau.

4. Áp dụng định lý phân giác trong tam giác:

   • Từ tính chất chia tỷ lệ và định lý trọng tâm, ta có thể kết luận rằng $MN$ (đoạn nối hai điểm $M$ và $N$) song song với $DE$ (đoạn nối hai điểm $D$ và $E$) vì chúng đều nằm trong các tam giác con có các tỷ lệ giống nhau và các cạnh của các tam giác này song song với nhau.

   Vậy, $MN\parallel DE$.

b) Chứng minh rằng $ND\parallel ME$:

1. Tính chất của các đoạn thẳng song song:

   • Trọng tâm $G$ chia các đoạn $BM$ và $CN$ theo tỷ lệ $2:1$.
   • Các trung điểm $D$ và $E$ chia đoạn $GB$ và $GC$ thành hai phần bằng nhau, và các đoạn nối giữa các trung điểm này cũng có mối quan hệ song song với nhau.

2. Tỷ lệ các đoạn thẳng:

   • Từ tính chất của trọng tâm, ta biết rằng đoạn $MN$ và đoạn $DE$ là song song với nhau.
   • Tương tự, $ND$ (đoạn nối $N$ và $D$) và $ME$ (đoạn nối $M$ và $E$) cũng sẽ song song với nhau vì chúng cũng chia các tam giác con có tỷ lệ tương tự, với trọng tâm $G$ là điểm giao cắt.

3. Kết luận (b): Vì các đoạn $ND$ và $ME$ đều có mối quan hệ song song với nhau trong tam giác, ta có thể kết luận rằng:

   $ND\parallel ME$.

Tóm lại:

• (a) $MN\parallel DE$.
• (b) $ND\parallel ME$.

MN=b2−(2a​)2​

AD= 8

BD = 4