a) gọi H là giao của MP và QN

ta có góc BFC+ góc FBC= 90 độ

góc AEB+ góc ABE= 90 độ

mà góc FBC hay chính là góc ABE

=> góc BFC= góc AEB

=> \(\frac12\) x góc BFC=\(\frac12\) x góc AEB

=> góc NFC= góc HEN

ta có góc FNC+ góc NFC= 90 độ

=> góc HEN+ góc FNC= 90 độ hay góc HEN+ góc HNE=90 độ

=> góc EHN= 90 độ

=> EP⊥FQ

b) xét tam giác QEN có:

EH vừa là đường cao vừa là phân giác

=> △QEN cân tại E

=> EH là đường trung tuyến

=> H là trung điểm QN

CMTT: △MFQ

=> H là trung điểm MP

tứ giác MNPQ có:

QN và MP giao nhau tại trung điểm mỗi đường

MP và QN vuông góc với nhau

=> tứ giác MNPQ là hình thoi(đpcm)

ta có: \(\frac{b\left(2a-b\right)}{a\left(b+c\right)}=\frac{2ab-b^2}{a\left(b+c\right)}=\frac{a^2-\left(a^2-2ab+b^2\right)}{a\left(b+c\right)}=\frac{a}{b+c}-\frac{\left(a-b\right)^2}{a\left(b+c\right)}\)

ta cần CM: \(VT=\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)-\left\lbrack\frac{\left(a-b\right)^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{\left(b-c\right)^2}{b\left(a+c\right)}+\frac{\left(c-a\right)^2}{c\left(a+b\right)}\right\rbrack\le\frac32\)

\(\sum\limits\frac{a}{b+c}-\sum\limits{\frac{\left(a-b\right)^2}{a\left(b+c\right)}}\le\frac32\) ( cậu thick tớ vt dạng tổng quát kiểu này hay bị chèn như ở trên)

<=> \(\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)-\frac32\le\frac{\left(a-b\right)^2}{a\left(b+c\right)}+\frac{\left(b-c\right)^2}{b\left(a+c\right)}+\frac{\left(c-a\right)^2}{c\left(a+b\right)}\)

ta có hằng đẳng thức

\(\sum\limits{\frac{a}{b+c}}-\frac32=\sum\limits{\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)

CM: \(VT=\left(\frac{a}{b+c}-\frac12\right)+\left(\frac{b}{a+c}-\frac12\right)+\left(\frac{c}{a+b}-\frac12\right)\)

\(VT=\frac{2a-b-c}{2\left(b+c\right)}+\frac{2b-a-c}{2\left(a+c\right)}+\frac{2c-a-b}{2\left(a+b\right)}\)

ta có: \(2a-b-c=\left(a-b\right)+\left(a-c\right)=\left(a-b\right)-\left(c-a\right)\)

=> \(VT=\frac{\left(a-b\right)-\left(c-a\right)}{2\left(b+c\right)}+\frac{\left(b-c\right)-\left(a-b\right)}{2\left(c+a\right)}+\frac{\left(c-a\right)-\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)}\)

\(VT=\sum\limits{\left(a-b\right)\left\lbrack\frac{1}{2\left(b+c\right)}-\frac{1}{2\left(c+a\right)}\right\rbrack}\)

mà \(\frac{1}{2\left(b+c\right)}-\frac{1}{2\left(c+a\right)}=\frac{\left(c+a\right)-\left(b+c\right)}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\frac{\left(a-b\right)}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

=> \(VT=\sum\limits{\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\)

vậy ta cần CM: \(\sum\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\le\sum{\frac{\left(a-b\right)^2}{a\left(b+c\right)}}\)

<=> \(\sum\limits{\left\lbrack\frac{\left(a-b\right)^2}{a\left(b+c\right)}-\frac{\left(a-b\right)^2}{2\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right\rbrack\ge0}\)

\(\Leftrightarrow\sum\limits{\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(b+c\right)}}\left\lbrack\frac{1}{a}-\frac{1}{2\left(c+a\right)}\right\rbrack\ge0\)

<=> \(\sum{\frac{\left(a-b\right)^2\left(a+2c\right)}{2a\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\ge0\) ( điều này luôn đúng)

dấu "=" xảy ra khi a=b=c

sau mik vt thế cho gọn:v, vt đầy đủ mỏi tay thực sự, mà mik đi về nhà nội đây:), bye cậu nha

làm 6 cái/ ngày thì thừa số bàn là: 6 x 2=12( cái bàn)

làm 4 cái/ ngày thì thiếu số bàn là: 4 x 2=8( cái bàn)

chênh lệch tổng số bàn giữa 2 cách làm tổng số ngày dự định là:

12+8=20( cái bàn)

mỗi ngày làm 6 cái hơn ngày làm 4 cái là:

6-4=2( cái)

số ngày bác thợ mộc dự định làm là:

20:2=10( ngày)

số bàn bác thợ cần đóng là:

6 x(10-2)=48( cái bàn)

a) \(\Leftrightarrow a^2b+ab^2-a^2c-ac^2-b^2c+bc^2\)

= \(\left(a^2b-a^2c\right)+\left(ab^2-ac^2\right)-\left(b^2c-bc^2\right)\)

= \(a^2\left(b-c\right)+a\left(b^2-c^2\right)-bc\left(b-c\right)\)

\(=a^2\left(b-c\right)+a\left(b-c\right)\left(b+c\right)-bc\left(b-c\right)\)

\(=\left(b-c\right)\left(a^2+ab+ac-bc\right)\)

b) \(\Leftrightarrow a^3\left(b-c\right)-b^3\left\lbrack\left(b-c\right)+\left(a-b\right)\right\rbrack+c^3\left(a-b\right)\)

= \(a^3\left(b-c\right)-b^3\left(b-c\right)-b^3\left(a-b\right)+c^3\left(a-b\right)\)

= \(\left(b-c\right)\left(a^3-b^3\right)-\left(a-b\right)\left(b^3-c^3\right)\)

= \(\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(b^2+bc+c^2\right)\)

= \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a^2+ab-bc-c^2\right)\)

= \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a+b+c\right)\)

=> \(y^2=-x^2+x+2\)

vì \(y\ge0\Rightarrow y^2\ge0\)

=> \(-x^2+x+2\ge0\Rightarrow\left(x+1\right)\left(2-x\right)\ge0\)

=> \(-1\le x\le2\) kết hợp với t/c \(x\ge0\Rightarrow0\le x\le2\)

tìm GTLN:

=> \(x^2+x+y^2=2\)

\(\left(x-\frac12\right)^2+y^2=2+\frac14=\frac94\)

ta có: \(P=x+2y=\left(x-\frac12_{}\right)+2y+\frac12\)

áp dụng Bunhiacopxki cho... ta có:

\(\left\lbrack1\cdot\left(x-\frac12\right)+2\cdot y\right\rbrack^2\le\left(1^2+2^2\right)\left\lbrack\left(x-\frac12\right)^2+y^2\right\rbrack\)

=> \(\left(P-\frac12\right)^2\le5\cdot\frac94=\frac{45}{4}\)

=> \(P-\frac12\le\frac{3\sqrt5}{2}\)

=> \(P\le\frac{3\sqrt5+1}{2}\)

dấu"=" xảy ra khi: \(\frac{x-\frac12}{1}=\frac{y}{2}\)

=> \(x=\frac{3\sqrt5+5}{10}\) và y= \(\frac{3\sqrt5}{5}\)

KL:.....

tìm GTNN:

xét bđt: \(x+2y\ge2\Rightarrow2y\ge2-x\)

vì \(2y\ge0\) và \(2-x\ge0\)

b/ phương hai vế lên ta dc

\(4y^2\ge\left(2-x\right)^2\)

thế \(y^2=-x^2+x+2\)

<=> \(-4x^2+4x+8\ge x^2-4x+4\)

=> \(5x^2-8x-4\le0\)

\(\left(x-2\right)\left(5x+2\right)\le0\)

vì \(x\ge0\Rightarrow5x+2>0\)

\(x\le2\Rightarrow x-2\le0\) ( bt luôn đúng)

vậy GTNN của P là 2

dấu "=" xảy ra khi x=2(TM), \(-\frac25\) (KTM); y=0

? nếu dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

=> \(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=\frac32\) chứ

làm theo cách sửa của mik thì

cộng thêm 3 vào 2 vế

=> \(\left(\frac{x}{y+z}+1\right)+\left(\frac{y}{x+z}+1\right)+\left(\frac{z}{x+y}+1\right)=\frac32+3\)

=> \(\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{x+z}+\frac{x+y+z}{x+y}=\frac92\)

=> \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}\right)=\frac92\)

=> \(\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{x+y}=\frac32\left(1\right)\)

đặt a=y+z

b=x+z

c=x+y

=> a+b+c=2(x+y+z)=6

=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac32\)

mà ta có: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)

ta có bđt: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)

CM: \(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{ab}\ge2\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) đúng với mọi số a,b dương

=> \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3+2+2+2=9\)

mà ta có: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=6\cdot\frac32=9\)

vậy "=" xảy ra khi a=b=c

=> y+z=z+x=x+y

=>x=y=z

vì x+y+z=3=> x+x+x=3=>3x=3=>x=1

=>x=y=z=1

=> \(N=\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\right)+3\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\)

mà ta có bđt: \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}=\frac32\)

ta có bđt: \(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}=\frac32\)

=> \(3\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\ge3\cdot\frac32=\frac92\)

=> \(N\ge\frac32+\frac92=6\)

dấu "=" xảy ra khi : a=b=c=1

nhận thấy: \(\left(a^2+1^2\right)\left(1^2+b^2\right)\ge\left(a\cdot1+b\cdot1\right)^2=\left(a+b\right)^2\)

CMTT: \(\Rightarrow\left(b^2+1\right)\left(1+c^2\right)\ge\left(b\cdot1+c\cdot1\right)^2=\left(b+c\right)^2\)

\(\left(c^2+1\right)\left(1^2+a^2\right)\ge\left(c\cdot1+a\cdot1\right)^2=\left(c+a\right)^2\)

=> \(\left\lbrack\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\right\rbrack^2\ge\left\lbrack\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right\rbrack^2\)

vì hai vế đều dương nên căn bậc cả hai vế ta dc

\(\Rightarrow\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

dấu "=" xảy ra khi: \(\frac{a}{1}=\frac{1}{b}\Rightarrow ab=1\)

\(\frac{b}{1}=\frac{1}{c}\Rightarrow bc=1\)

\(\frac{c}{1}=\frac{1}{a}\Rightarrow ac=1\)

=> a=b=c=1

a) \(\Rightarrow\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{b+1}+\sqrt{c+1}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left\lbrack\left(\sqrt{a+1}\right)^2+\left(\sqrt{b+1}\right)^2+\left(\sqrt{c+1}\right)^2\right\rbrack\)

\(VT^2\le3\left(a+b+c+3\right)=12\)

=> \(VT\le2\sqrt3<3,5\)

b) => \(VT^2\le3\left(2a+2b+2c\right)=6\)

=> \(VT\le\sqrt6\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

\(\frac{\sqrt{a+b}}{1}=\frac{\sqrt{b+c}}{1}=\frac{\sqrt{c+a}}{1}\)

=> a=b=c=\(\frac13\)

cậu ơi:), có bài gì cậu tung hết một thể cho tớ làm chứ giờ ăn cơm cứ đi hành tớ v

nhận thấy: \(\frac{a+2b+c}{1+a^2}=\frac{\left(a+2b+c\right)\left(1+a^2\right)-a^2\left(a+2b+c\right)}{1+a^2}=a+2b+c-\frac{a^2\left(a+2b+c\right)}{1+a^2}\)

mà \(\frac{a^2\left(a+2b+c\right)}{1+a^2}\le\frac{a^2\left(a+2b+c\right)}{2a}=\frac{a\left(a+2b+c\right)}{2}=\frac{a^2+2ab+ac}{2}\)

=> \(\frac{a+2b+c}{1+a^2}\ge a+2b+c-\frac{a^2+2ab+ac}{2}\)

CMTT:=> \(\frac{b+2c+d}{1+b^2}\ge b+2c+d-\frac{b^2+2bc+bd}{2}\)

\(\frac{c+2d+a}{1+c^2}\ge c+2d+a-\frac{c^2+2dc+ac}{2}\)

\(\frac{d+2a+b}{1+d^2}\ge d+2a+b-\frac{d^2+2ad+bd}{2}\)

=> \(VT\ge4\left(a+b+c+d\right)-\frac12\left(a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2bc+2dc+2ad+ac+bd+ac+bd\right)\) \(VT\ge4\cdot4-\frac12\left(a+b+c+d\right)^2=16-\frac12\cdot16=8\left(đpcm\right)\)