525

Chúng ta cần chứng minh các điều kiện sau cho các số nguyên dương \(x\) và \(y\) thỏa mãn \(x^{3} + 1\) chia hết cho \(y + 1\) và \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\).

Bài toán phần a)

Chứng minh rằng \(x^{3} + 1\) chia hết cho \(y + 1\).

Giải: Ta đã biết rằng \(x^{3} + 1\) chia hết cho \(y + 1\), tức là:

\(\frac{x^{3} + 1}{y + 1} \in \mathbb{Z} .\)

Ta có thể xem xét \(x^{3} + 1\) dưới dạng nhân tử:

\(x^{3} + 1 = \left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} - x + 1 \left.\right) .\)

Ta cần chứng minh rằng \(\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} - x + 1 \left.\right)\) chia hết cho \(y + 1\). Điều này có nghĩa là \(y + 1\) là ước của \(x^{3} + 1\), hay là:

\(y + 1 \mid \left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} - x + 1 \left.\right) .\)

Giả sử rằng \(x^{3} + 1\) chia hết cho \(y + 1\), thì sẽ có một số \(k\) sao cho:

\(x^{3} + 1 = k \left(\right. y + 1 \left.\right) ,\)

tức là \(k\) là một số nguyên. Như vậy, \(x^{3} + 1\) chia hết cho \(y + 1\), và bài toán đã được chứng minh cho phần a.

Bài toán phần b)

Chứng minh rằng \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\).

Giải: Ta cần chứng minh rằng \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\), tức là:

\(\frac{x^{3} y^{3} - 1}{y + 1} \in \mathbb{Z} .\)

Ta có thể biến đổi \(x^{3} y^{3} - 1\) theo công thức phân tích đa thức:

\(x^{3} y^{3} - 1 = \left(\right. x y - 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} y^{2} + x y + 1 \left.\right) .\)

Ta cần chứng minh rằng \(\left(\right. x y - 1 \left.\right) \left(\right. x^{2} y^{2} + x y + 1 \left.\right)\) chia hết cho \(y + 1\).

Giả sử rằng \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\), ta có:

\(x^{3} y^{3} - 1 = m \left(\right. y + 1 \left.\right) ,\)

với một số nguyên \(m\), do đó \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\), hoàn thành bài toán phần b.

Kết luận: Chúng ta đã chứng minh được rằng:

• a) \(x^{3} + 1\) chia hết cho \(y + 1\),
• b) \(x^{3} y^{3} - 1\) chia hết cho \(y + 1\).