My Love
Giới thiệu về bản thân
Những đứa thích spam những nội dung không liên quan đến học tập là những đứa đói rp. Vì vậy trùm rp chúng tui là nhg người lương thiện luôn đi giúp đỡ những người đói rp, mang rp đến cho những đứa đói rp. :))
0
0
0
0
0
0
0
2026-08-29 10:22:51
spam linh tinh nên rp nha
2026-08-28 14:02:24
rp
2026-08-28 14:00:10
rp
2026-08-28 13:53:06
亗_Vương•Thừa•Trí_ᴠᴀɴɢᴜᴀʀᴅ亗 spam linh tinh những câu hỏi không liên quan đến học tập là bị rp thôi bạn(và bạn cũng là một trong số đó)
2026-08-28 13:51:55
rp
2026-08-28 13:50:35
rp
2026-08-28 08:23:56
Cô Hoài ơi trao thưởng nốt đi ạ
2026-08-28 08:12:15
Là nôn ra máu á bạn
2026-08-28 07:50:30
Nếu đúng cho mình xin 1tick nhé bạn
2026-08-28 07:49:30
Trước tiên, có một lỗi đánh máy nhỏ trong đề bài của bạn: vế phải của đẳng thức thứ hai phải là \(\frac{3}{2}\) chứ không phải \(3\). Vì nếu \(a=b=c=1\) thì biểu thức \(\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\). Do đó, đề bài chính xác là:
Vì \(a, b, c > 0\) nên các đại lượng \(\frac{a^{2}}{b+c}\) và \(\frac{b+c}{4}\) đều là các số dương. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số này, ta có:
\(\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge 2\sqrt{\frac{a^{2}}{b+c}\cdot \frac{b+c}{4}}=2\cdot \frac{a}{2}=a\)Tương tự, áp dụng cho hai cặp số còn lại:
\(\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge 2\sqrt{\frac{b^{2}}{c+a}\cdot \frac{c+a}{4}}=b\)
\(\frac{c^{2}}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge 2\sqrt{\frac{c^{2}}{a+b}\cdot \frac{a+b}{4}}=c\)Bước 2: Cộng vế theo vế
Cộng ba bất đẳng thức trên lại với nhau, ta thu được:
\(\left(\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\right)+\left(\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}+\frac{a+b}{4}\right)\ge a+b+c\)Rút gọn phần tổng phân số thứ hai:
\(\frac{b+c+c+a+a+b}{4}=\frac{2(a+b+c)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)Thay vào bất đẳng thức tổng:
\(\left(\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\right)+\frac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\)
\(\Rightarrow \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\ge (a+b+c)-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}\)Biết rằng \(a+b+c = 3\), ta có đánh giá:
\(\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\ge \frac{3}{2}\)Bước 3: Giải thích vì sao dấu "=" bắt buộc xảy ra
Theo đề bài, ta có đẳng thức cụ thể: \(\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} = \frac{3}{2}\).Để dấu bằng ở kết quả cuối cùng xảy ra, thì bắt buộc tất cả các dấu bằng ở các bước áp dụng bất đẳng thức Cô-si phía trên phải đồng thời xảy ra.Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
\(2a+a=b+c+a\Rightarrow 3a=a+b+c\)
Mà \(a + b + c = 3\), nên:
\(3a=3\Rightarrow a=1\)Tương tự với điều kiện (2) và (3):
- Cho \(a, b, c > 0\) thỏa mãn \(a + b + c = 3\).
- Chứng minh rằng nếu \(\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} = \frac{3}{2}\) thì \(a = b = c = 1\).
Vì \(a, b, c > 0\) nên các đại lượng \(\frac{a^{2}}{b+c}\) và \(\frac{b+c}{4}\) đều là các số dương. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số này, ta có:
\(\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge 2\sqrt{\frac{a^{2}}{b+c}\cdot \frac{b+c}{4}}=2\cdot \frac{a}{2}=a\)Tương tự, áp dụng cho hai cặp số còn lại:
\(\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c+a}{4}\ge 2\sqrt{\frac{b^{2}}{c+a}\cdot \frac{c+a}{4}}=b\)
\(\frac{c^{2}}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge 2\sqrt{\frac{c^{2}}{a+b}\cdot \frac{a+b}{4}}=c\)Bước 2: Cộng vế theo vế
Cộng ba bất đẳng thức trên lại với nhau, ta thu được:
\(\left(\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\right)+\left(\frac{b+c}{4}+\frac{c+a}{4}+\frac{a+b}{4}\right)\ge a+b+c\)Rút gọn phần tổng phân số thứ hai:
\(\frac{b+c+c+a+a+b}{4}=\frac{2(a+b+c)}{4}=\frac{a+b+c}{2}\)Thay vào bất đẳng thức tổng:
\(\left(\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\right)+\frac{a+b+c}{2}\ge a+b+c\)
\(\Rightarrow \frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\ge (a+b+c)-\frac{a+b+c}{2}=\frac{a+b+c}{2}\)Biết rằng \(a+b+c = 3\), ta có đánh giá:
\(\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\ge \frac{3}{2}\)Bước 3: Giải thích vì sao dấu "=" bắt buộc xảy ra
Theo đề bài, ta có đẳng thức cụ thể: \(\frac{a^2}{b+c} + \frac{b^2}{c+a} + \frac{c^2}{a+b} = \frac{3}{2}\).Để dấu bằng ở kết quả cuối cùng xảy ra, thì bắt buộc tất cả các dấu bằng ở các bước áp dụng bất đẳng thức Cô-si phía trên phải đồng thời xảy ra.Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
- \(\frac{a^2}{b+c} = \frac{b+c}{4} \Rightarrow 4a^2 = (b+c)^2 \Rightarrow 2a = b+c\) (vì \(a, b, c > 0\))
- \(\frac{b^2}{c+a} = \frac{c+a}{4} \Rightarrow 2b = c+a\)
- \(\frac{c^2}{a+b} = \frac{a+b}{4} \Rightarrow 2c = a+b\)
\(2a+a=b+c+a\Rightarrow 3a=a+b+c\)
Mà \(a + b + c = 3\), nên:
\(3a=3\Rightarrow a=1\)Tương tự với điều kiện (2) và (3):
- Từ \(2b = c+a \Rightarrow 3b = a+b+c = 3 \Rightarrow b = 1\)
- Từ \(2c = a+b \Rightarrow 3c = a+b+c = 3 \Rightarrow c = 1\)
(Cre:Google)