b)5^n . 5^n+1 . 5^n+2 <10^12 :2^12

5^2n+1.5^n+2 < (10 : 2)^12

5^3n+3 < 5^12

3n + 3 < 12

3n < 12 - 3

3n < 9

n < 9 : 3

n < 3

Vì n là số tự nhiên nên n = 0; 1; 2

Vậy n ∈ {0; 1; 2}

tìm số tự nhiên n, biết:

a) 3 ≤ 3^n+1 ≤ 243

3 ≤ 3^n+1 ≤ 3^5

3 ≤ n + 1 ≤ 5

Vì 3 < 4 < 5 mà n là số tự nhiên nên

n + 1 = 3; 4; 5

n = 2;3;4

Vậy n ∈ {2; 3; 4}

Cho C = 1+3+3^2 +3^3 +...+3^11.

Chứng minh C chia hết cho 40

Xét dãy số: 0; 1; 2; 3;..;11

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là:

1 - 0 = 1

Số số hạng của dãy số trên là:

(11 - 0) : 1 + 1 = 12 (số)

Vì 12 : 4 = 3

Nhóm ba số hạng liên tiếp vào nhau ta được:

C = (1 + 3+ 3^2+ 3^3) + ... + (3^8 + 3^9 + 3^10 + 3^11)

C = (1+ 3+ 3^2 + 3^3) +..+ 3^8(1 + 3+ 3^2 + 3^3)

C = (1 + 3 + 3^2 + 3^3).(1+ .. + 3^8)

C = 40.(1+ .. + 3^8)

Vì 40 chia hết cho 40 nên C chia hết cho 40 (đpcm)

Cho C = 1+3+3^2 +3^3 +...+3^11.

a) CM: C chia hết cho 13

C = 1+3+3^2 +3^3 +...+3^11

Xét dãy số: 0; 1; 2; 3;..;11

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là:

1 - 0 = 1

Số số hạng của dãy số trên là:

(11 - 0) : 1 + 1 = 12 (số)

Vì 12 : 3 = 4

Vậy nhóm ba số hạng liên tiếp của C vào nhau ta được:

C = (1 + 3 + 3^2) + ...+(3^9 + 3^10 + 3^11)

C = (1 + 3+ 3^2) + ... + 3^9.(1+ 3+ 3^2)

C = (1 + 3 + 3^2).(1+...+ 3^9)

C = 13.(1+ ..+ 3^9)

Vì 13 chia hết cho 13 nên C chia hết cho 13(đpcm)

Đã ước chung lớn nhất thì chỉ có một số thôi, không thể có hai ước chung lớn nhất.

d) 999993^1999 _ 555557^1997 chia hết cho 5

D = (999993\(^4\))\(^{499}\).999993\(^3\) - (555557\(^4\))\(^{499}\).555557

D = \(\overline{..1}^{499}\).\(\overline{..7}\) - \(\overline{..1}\)\(^{499}\).7

D = \(\overline{..7}\) - \(\overline{..7}\)

D = \(\overline{..0}\)

D chia hết cho 5 (đpcm)

C = \(\overline{888\ldots8}\) - 9 + n

Tổng các chữ số của C là:

8 x n - 9 + n = 9n - 9

(9n - 9) chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n nên C chia hết cho 9 với mọi n.

b) 5^n-1 chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên.

5 \(\equiv\) 1 (mod 4)

5^n \(\equiv\) 1(mod 4)

5^n - 1 \(\equiv\) 0 (mod 4)

Vậy 5\(^{n}\) - 1 chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên.

a) 99^5 -98^4 +97^3 -96^2 chia hết cho 2 và 5

A = 99^5 - 98^4 + 97^3 - 96^2

A = (99^4).99 - \(\overline{..6}\) + \(\overline{..3}\) - \(\overline{..6}\)

A = \(\overline{..1}\).99 - \(\overline{..6}\) + \(\overline{..3}\) - \(\overline{..6}\)

A = \(\overline{..9}\) - \(\overline{..6}\) + \(\overline{..3}\) - \(\overline{..6}\)

A = \(\overline{..3}\) + \(\overline{..3}\) - \(\overline{..6}\)

A = \(\overline{..6}\) - \(\overline{..6}\)

A = \(\overline{..0}\)

A ⋮ 2 và 5(đpcm)

c, C = 9^2001n+1 chia hết cho 10

Với n = 0 ta có:

C = 9\(^{2001n}\) + 1 = 9\(^0\) + 1 = 1 + 1 = 2 không chia hết cho 10.

Việc chứng minh C chia hết cho 10 với mọi số tự nhiên n là không thể