cho tứ giác ABCD có 2 đường chéo AC,BD vuông góc với nhau. gọi M,N,L lần lượt là trung điểm của AB,AD và đường chéo AC. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt AC tại H.
CMR H là trực tâm của tam giác MNL
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Toán Tuổi Thơ 2 số 178 Bài 6 chứ gì
Ta có:\(xy+yz+zx+x+y+z\)
\(=xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1-xyz-1\)
\(=xy\left(z+1\right)+x\left(z+1\right)+y\left(z+1\right)+\left(z+1\right)-xyz-1\)
\(=\left(xy+x+y+1\right)\left(z+1\right)-xyz-1\)
\(=\left[x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)\right]\left(z+1\right)-xyz-1\)
\(=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)-xyz-1\)
Lần lượt thay \(x=\frac{b}{a-b};y=\frac{c}{b-c};z=\frac{a}{c-a}\) vào ta có:
\(xy+yz+zx+x+y+z\)
\(=\left(\frac{b}{a-b}+1\right)\left(\frac{c}{b-c}+1\right)\left(\frac{a}{c-a}+1\right)-\frac{b}{a-b}.\frac{c}{b-c}.\frac{a}{c-a}-1\)
\(=\frac{a}{a-b}.\frac{b}{b-c}.\frac{c}{c-a}-\frac{b}{a-b}.\frac{c}{b-c}.\frac{a}{c-a}-1\)
\(=-1\)
Vậy giá trị của \(xy+yz+zx+x+y+z\) không phụ thuộc vào a,b,c
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{3}{2018}\Leftrightarrow2018\left(a+b\right)=3ab.\)(*)
Dễ thấy Vế trái của (*) chia hết cho 1009 \(\Rightarrow3ab⋮1009\Rightarrow ab⋮1009\)(Do (3;1009)=1 )
Trường hợp 1: Cả 2 số a,b đều chia hết cho 1009
Khi đó: \(\hept{\begin{cases}a=1009m\\b=1009n\end{cases}\left(m,n\inℕ^∗;m\ge n\right).}\)Thế vào (*) ta có:
\(2018\left(1009m+1009n\right)=3.1009m.1009n\)
\(\Leftrightarrow2\left(m+n\right)=3mn\)
\(\Leftrightarrow6m-9mn+6n-4=-4\)
\(\Leftrightarrow3m\left(2-3n\right)-2\left(2-3n\right)=-4\)
\(\Leftrightarrow\left(3m-2\right)\left(3n-2\right)=4\)
Mà \(m\ge n\Rightarrow3m-2\ge3n-2\); \(m,n\inℕ^∗\Rightarrow3n-2>0\)hay \(3m-2\ge3n-2>0\)
Suy ra có 2 trường hợp
\(\hept{\begin{cases}3m-2=4\\3n-2=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=2\\n=1\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=1009.2\\b=1009.1\end{cases}\Leftrightarrow}}\hept{\begin{cases}a=2018\\b=1009\end{cases}}\)
Thế vào phương trình đã cho ta được: \(\frac{1}{2018}+\frac{1}{1009}=\frac{3}{2018}\)( Thỏa mãn)
\(\hept{\begin{cases}3m-2=2\\3n-2=2\end{cases}\Leftrightarrow m=n=\frac{4}{3}}\)(loại)
Trường hợp 2: Trong hai số a,b chỉ có một số duy nhất chia hết cho 1009
Do vai trò của a,b như nhau nên Giả sử \(a⋮1009\Rightarrow a=1009k\left(k\inℕ^∗\right).\)
Khi đó thế vào (*) ta có: \(2018\left(1009k+b\right)=3.1009k.b\)
\(\Leftrightarrow2.\left(1009k+b\right)=3kb\Leftrightarrow2018k=b\left(3k-2\right)\)(**)
Mà vế trái của biểu thức trên chia hết cho 1009. Lại có b không chia hết cho 1009
Suy ra \(3k-2⋮1009\)
Khi đó \(3k-2=1009t\left(t\inℕ^∗\right)\)
\(\Leftrightarrow3k=3.336t+t+2\)
\(\Leftrightarrow3\left(k-336t\right)=t+2\)
Suy ra \(t+2⋮3\)
Với \(t+2=3\Leftrightarrow t=1\)khi đó:\(3\left(k-336\right)=3\Leftrightarrow k=337\Rightarrow a=1009.337=340033\)
Thế vào hệ phương trình đã cho \(\frac{1}{1009.337}+\frac{1}{b}=\frac{3}{2018}\Leftrightarrow b=674\)(thỏa mãn)
Với \(t+2=6\Leftrightarrow t=4\)Khi đó: \(3\left(k-336.4\right)=6\Leftrightarrow k=1346\Rightarrow a=1009.1346=1358114\)
Thế vào phương trình đầu đã cho : \(\frac{1}{1009.1346}+\frac{1}{b}=\frac{3}{2018}\Leftrightarrow b=673\)(thỏa mãn)
Với \(t+2>6\Leftrightarrow t>4\Rightarrow3k-2=1009t>1009.4\Rightarrow k>1346\)
\(\Rightarrow2018k< 2019k-1346\Leftrightarrow2018k< 673\left(3k-2\right)\Rightarrow\frac{2018k}{3k-2}< 673\)
Từ (**) ta có: \(b=\frac{2018k}{3k-2}< 673\le672\Rightarrow\frac{1}{b}\ge\frac{1}{672}>\frac{3}{2018}.\)
Mà \(\frac{1}{b}=\frac{3}{2018}-\frac{1}{a}< \frac{3}{2018}.\)Nên với \(1+2\ge6\)thì không có giá trị của a,b thỏa mãn đề bài.
Vậy các nghiệm nguyên của phương trình đã cho là
\(\left(a,b\right)=\left(1358114;673\right),\left(340033;674\right),\left(2018;1009\right).\)
Ta có \(\frac{1}{a}=\frac{3}{2018}-\frac{1}{b}=\frac{3b-2018}{2018b}\)
=> \(3a=\frac{6054b}{3b-2018}=\frac{2018\left(3b-2018\right)+2018^2}{3b-2018}=2018+\frac{2018^2}{3b-2018}\)là số nguyên
=> \(\frac{2018^2}{3b-2018}\)là số nguyên
Mà 3b-2018 chia 3 dư 1
=> \(3b-2018\in\left\{-2;1;4;1009;4036;2018^2\right\}\)
=> \(b\in\left\{672;673;674;1009;2018;1358114\right\}\)
Thay vào ta được cặp a,b và kết hợp với ĐK \(a\ge b>0\)
\(\left(a,b\right)=\left(1358114;673\right),\left(340033;674\right),\left(2018;1009\right)\)
Trên nửa mặt phẳng bờ AM không chứa điểm B, dựng \(\Delta\)AMP sao cho \(\Delta\)AMP ~ \(\Delta\)ABC
Định nghĩa tương tự với điểm N. Gọi phân giác của ^ABM cắt AM tại I.
Từ \(\Delta\)AMP ~ \(\Delta\)ABC ta có tỉ số \(\frac{AM}{AB}=\frac{AP}{AC}\)hay \(\frac{AP}{AM}=\frac{AC}{AB}\)
Đồng thời ^MAP = ^BAC => ^PAC = ^MAB. Từ đó \(\Delta\)APC ~ \(\Delta\)AMB (c.g.c)
Suy ra ^APC = ^AMB => ^APM + ^MPC = ^AMB => ^MPC = ^AMB - ^APM = ^AMB - ^ACB (1)
Lập luận tương tự ta có ^MNB = ^AMC - ^ANM = ^AMC - ^ABC (2)
Từ (1) và (2), kết hợp với giả thiết ^AMB - ^C = ^AMC - ^B suy ra ^MPC = ^MNB
Ta lại có ^PMC = ^AMC - ^AMP = ^AMC - ^ABC = ^AMB - ^ACB = ^AMB - ^AMN = ^NMB
Do vậy \(\Delta\)BNM ~ \(\Delta\)CPM (g.g) => \(\frac{BM}{CM}=\frac{MN}{MP}\)
Mặt khác \(\Delta\)ANM ~ \(\Delta\)AMP (~\(\Delta\)ABC) => \(\frac{MN}{PM}=\frac{AN}{AM}=\frac{AB}{AC}\)
Từ đây \(\frac{BM}{CM}=\frac{AB}{AC}\) hay \(\frac{BA}{BM}=\frac{CA}{CM}\). Theo ĐL đường phân giác trong tam giác có:
\(\frac{BA}{BM}=\frac{IA}{IM}\). Do đó \(\frac{CA}{CM}=\frac{IA}{IM}\)=> CI là phân giác của ^ACM
Điều này tức là phân giác của ^ABM và ^ACM cắt nhau tại điểm I nằm trên AM => ĐPCM.
\(f\left(x-1\right)=\left(x-1\right)\left(x\right)\left(x+1\right)\left(ax-a+b\right)\)
=> \(f\left(x\right)-f\left(x-1\right)=x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)\)mọi x
\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(ax+b\right)-\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(ax-a+b\right)=x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)\)mọi x
\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)\left[\left(x+2\right)\left(ax+b\right)-\left(x-1\right)\left(ax-a+b\right)\right]=x\left(x+1\right)\left(2x+1\right)\)mọi x
\(\Leftrightarrow ax^2+2ax+bx+2b-ax^2+ax-bx+ax-a+b=2x+1\)mọi x
\(\Leftrightarrow4ax+3b-a=2x+1\)
Cân bằng hệ số :
\(\hept{\begin{cases}4a=2\\3b-a=1\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
a) Ta có $$\begin{aligned} f(x)-f(x-1) & =x(x+1)(x+2)(ax+b)-(x-1)x(x+1)(ax+b) \\ & = 4ax^3+3(a+b)x^2+(3b-a)x \end{aligned}$$
Và $x(x+1)(2x+1)=2x^3+3x^2+x$
Vậy $$4ax^3+3(a+b)x^2+(3b-a)x = 2x^3+3x^2+x \iff \begin{cases} 4a=2 \\ 3(a+b)=3 \\ 3b-a=1 \end{cases} \implies a=b= \dfrac{1}{2}$$
b) Ta có
$$\begin{array}{l}1.2.3= f(1)-f(0) \\ 2.3.5=f(2)-f(1) \\ 3.4.7= f(3)-f(2) \\ ... \\ n(n+1)(2n+1)=f(n)-f(n-1) \end{array}$$
$$\implies S=1.2.3+2.3.5+.....+n(n+1)(2n+1)= f(n-1)-f(0)= \boxed{\dfrac{(n-1)n(n+1)^2}{2}}$$
\(\frac{b}{bc+b+1}+\frac{a}{ab+a+1}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{ac.b}{ac\left(bc+b+1\right)}+\frac{c.a}{c\left(ab+a+1\right)}+\frac{c}{ac+c+1}\)
\(=\frac{1}{c+1+ac}+\frac{ac}{1+ac+c}+\frac{c}{ac+c+1}=1\)
a= b+c=a : b=a+c; c= a=b voi nhung bai nhan chia cung vay
Mình giải được câu a thôi
\(\Delta ABM,\Delta AMC\)có đáy BM = MC (AM là trung tuyến) ; chung đường cao AH nên có diện tích bằng nhau (1)
\(\Delta KBM,\Delta KMC\)có đáy BM = MC ; chung đường cao KI nên \(S_{\Delta KBM}=S_{\Delta KMC}=\frac{1}{2}S_{\Delta KBC}\left(2\right)\)
\(\Delta BKM,\Delta ABK\)có đáy \(KM=2AK\)(do \(\frac{AK}{AM}=\frac{1}{3}\)) ; chung đường cao BL nên \(S_{\Delta BKM}=2S_{\Delta ABK}\left(3\right)\)
Từ (2) và (3),ta có \(S_{\Delta BKC}=4S_{\Delta ABK}\left(4\right)\)mà\(\Delta BKC,\Delta ABK\)có chung đáy BK nên có đường cao CP = 4AO
\(\Delta KNC,\Delta AKN\)có chung đáy KN ; đường cao CP = 4AO nên \(S_{\Delta KNC}=4S_{\Delta AKN}\left(5\right)\Rightarrow S_{\Delta AKC}=5S_{\Delta AKN}\left(6\right)\)
Từ (4) và (5),ta có \(S_{\Delta BKC}+S_{\Delta KNC}=4S_{\Delta ABK}+4S_{\Delta AKN}\)hay \(S_{\Delta BNC}=4S_{\Delta ABN}\)\(\Rightarrow S_{\Delta ABC}=5S_{\Delta ABN}\left(7\right)\)
Từ (1) và (2),ta có \(S_{\Delta ABM}-S_{\Delta BKM}=S_{\Delta AMC}-S_{\Delta KMC}\)hay \(S_{\Delta ABK}=S_{\Delta AKC}\).Kết hợp với (6),ta có :
\(S_{\Delta ABK}=5S_{\Delta AKN}\Rightarrow S_{\Delta ABN}=6S_{\Delta AKN}\).Kết hợp với (7),ta có \(S_{\Delta AKN}=\frac{1}{30}S_{\Delta ABC}\)
Với \(b=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\) => \(\sqrt{b}=\sqrt{\frac{6-2\sqrt{5}}{4}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\)=> \(\sqrt{b}=1-b\)(*)
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có :
\(x^2+by^2\ge2xy\sqrt{b}\)
\(x^2+bz^2\ge2xz\sqrt{b}\)
\(\left(1-b\right)y^2+\left(1-b\right)z^2\ge2\left(1-b\right)yz\)
Cộng 3 vế của BĐT và kết hợp với (*) ta có
\(2x^2+y^2+z^2\ge2\sqrt{b}\left(xy+yz+xz\right)=2\sqrt{b}\)=> \(MinA=2\sqrt{b}\)với \(b=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(y=z=\frac{x}{\sqrt{b}}\)và xy+yz+xz=1
=> \(x=\sqrt{\frac{b\sqrt{b}}{2b+\sqrt{b}}};y=z=\sqrt{\frac{\sqrt{b}}{2b+\sqrt{b}}}\)với \(b=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)
Gọi giao điểm của AJ với BC , BK với AC, CL với AB lần lượt là M, N, P
+) Từ B, C kẻ đường vuông góc với AM lần lượt tại Q, R
Xét tam giác ADJ và tam giác CAR
có: \(\widehat{J_1}=\widehat{R_1}\left(=90^o\right)\)
AD= AC ( ACED là hình vuông)
\(\widehat{A_2}=\widehat{D_1}\)( cùng phụ góc \(\widehat{A_1}\))
=> \(\Delta ADJ=\Delta CAR\)( cạnh huyền góc nhọn)
=> AJ=CR (1)
Chứng minh tương tự : \(\Delta AIJ=\Delta BAQ\)
=> AJ= BQ (2)
Từ (1), (2) => CR=BQ
Ta lại có: BQ//CR ( cùng vuông góc với AM)
=> \(\frac{CM}{BM}=\frac{BQ}{CR}=1\) ( vì CR =BQ, chứng minh trên)
=> CM=BM
=> M là trung điểm BC
+) Chứng minh tương tự ta được: N là trung điểm AC và P là trung điểm AB
=> AM, CP, BN là 3 đường trung tuyến của tam giác ABC đồng quy
=> AJ, BK; CL đồng quy
Ta có
\(VT=a^3\left(b-c\right)+\left(b^3c-bc^3\right)-a\left(b^3-c^3\right)\)
\(=\left(b-c\right)\left(a^3+bc\left(b+c\right)-a\left(b^2+bc+c^2\right)\right)\)
\(=\left(b-c\right)\left[\left(a^3-ab^2\right)+\left(b^2c-abc\right)+\left(bc^2-ac^2\right)\right]\)
\(=\left(b-c\right)\left(a-b\right)\left[a\left(a+b\right)-bc-c^2\right]\)
\(=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a+b+c\right)\)
TH1 Nếu a,b,c chia 3 dư 0,1,2 =>\(a+b+c⋮3\)
TH2 Trừ TH trên
Theo nguyên lí diricle luôn có 2 trong 3 số trên chia 3 cùng 1 số dư
Hay a-b hoặc b-c hoặc a-c chia hết cho 3
Từ 2 trường hợp
=> \(VT⋮3\)
Mà VP chia 3 dư 1 do 2020 chia 3 dư 1
=> không có giá trị nào của a,b,c nguyên thỏa mãn đề bài
Vậy không có gia trị nào của a,b,c nguyên thỏa mãn đề bài
khó waaaaaaaaaaaaaaaaa
bài zì mà khó quá đi àaaaaaaaaaaaaaaaa