Question

[Lan Trần Thị Phương]

Tìm m để đường thẳng d: y= (m² + 1)x - 2m                                                  b) cắt trục Ox tại điểm A sao cho OA=4/5.                                                    c) Cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho OA=2OB.                              d) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d đạt giá trị lớn nhất. 

Answer 1

[Lê Song Phương]

b) Để ý rằng phương trình của trục Ox là \(y=0\). Do đó pt hoành độ giao điểm của Ox và d là \(\left(m^2+1\right)x_A-2m=0\Leftrightarrow x_A=\dfrac{2m}{m^2+1}\)

 Mà \(OA=\left|x_A\right|=\left|\dfrac{2m}{m^2+1}\right|=\dfrac{2\left|m\right|}{m^2+1}\) , \(OA=\dfrac{4}{5}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2\left|m\right|}{m^2+1}=\dfrac{4}{5}\) 

\(\Leftrightarrow2m^2-5\left|m\right|+2=0\)

Xét \(m\ge0\), khi đó \(2m^2-5m+2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) (nhận)

Xét \(m< 0\), khi đó \(2m^2+5m+2=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-\dfrac{1}{2}\\m=-2\end{matrix}\right.\) (nhận)

Vậy \(m\in\left\{\pm2;\pm\dfrac{1}{2}\right\}\) thỏa mãn ycbt.

c) Theo câu b), ta có \(OA=\dfrac{2\left|m\right|}{m^2+1}\). d cắt Oy tại \(B\left(0,-2m\right)\)

\(\Rightarrow OB=\left|-2m\right|=2\left|m\right|\)

Có \(OA=2OB\Leftrightarrow\dfrac{2\left|m\right|}{m^2+1}=4\left|m\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|m\right|\left(2-\dfrac{1}{m^2+1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=0\\2m^2+1=0\left(vôlý\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m=0\) thỏa mãn ycbt.

d) Gọi \(h\) là khoảng cách từ O đến d thì khi đó:

\(\dfrac{1}{h^2}=\dfrac{1}{OA^2}+\dfrac{1}{OB^2}\)

\(=\dfrac{1}{\left(\dfrac{2\left|m\right|}{m^2+1}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(2\left|m\right|\right)^2}\)

\(=\dfrac{m^4+2m^2+1}{4m^2}+\dfrac{1}{4m^2}\)

\(=\dfrac{m^4+2m^2+2}{4m^2}\)

\(\Rightarrow h^2=\dfrac{4m^2}{m^4+2m^2+2}\)

Đặt \(t=m^2\left(t>0\right)\) thì ta có \(h^2=\dfrac{4t}{t^2+2t+2}=P\)

\(\Leftrightarrow Pt^2+2\left(P-2\right)t+2P=0\)    (*)

Có \(\Delta'=\left(P-2\right)^2-2P^2=P^2-4P+4-2P^2=-P^2-4P+4\)

\(\Delta'\ge0\Leftrightarrow-2-2\sqrt{2}\le P\le-2+2\sqrt{2}\)

Ta thấy \(P=\dfrac{2P}{P}=2>0\) nên để pt đã cho có 1 nghiệm dương thì \(S>0\Leftrightarrow-2\left(P-2\right)>0\Leftrightarrow P< 2\) 

 Kết hợp 2 điều kiện, ta được \(-2-2\sqrt{2}\le P\le-2+2\sqrt{2}\)

 Vậy \(maxP=-2+2\sqrt{2}\). Dấu "=" xảy ra khi \(t=\dfrac{-2\left(-2+2\sqrt{2}-2\right)}{2\left(-2+2\sqrt{2}\right)}=\sqrt{2}\) 

\(\Leftrightarrow m^2=\sqrt{2}\Leftrightarrow m=\pm\sqrt[4]{2}\)

Vậy \(m=\pm\sqrt[4]{2}\) thỏa mãn ycbt.