Question

[hận toán vô đối]

( vị nào đi ngang qua xin ghé lại giúpp em :(( huhu bí lắm òi)

1.cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn sao cho AC>CB. Hai tiếp tuyến tại A và C của nửa đường tròn(O) cắt nhau tại M. Gọi H là giao điểm của MO và AC.

a) cm 4 điểm M,A,O,C cùng thuộc 1 đường tròn

b) cm tg OAH đồng dạng tg OMA và OMA và OB bình = OH.OM

c) Gọi E là giao điểm của đoạn thẳng MB và nửa đường tròn (O). Đường thẳng AE cắt MO tại F. Gọi K là hình chiếu vuông góc của F trên AB. C/m <ABK = <AFK và BK vuông góc với HB

*Giải câu c thôi cũng được ạ tại e giải gần xong rùi mà bí câu c quá :((*

Answer 1

[Nguyễn Minh Phúc]

Câu a: Chứng minh 4 điểm \(M , A , O , C\) cùng thuộc một đường tròn

Ta cần chứng minh \(M , A , O , C\) cùng thuộc một đường tròn, tức là tứ giác \(M A O C\) nội tiếp.

• Vì \(M\) là giao điểm của hai tiếp tuyến \(M A\) và \(M C\), nên \(M A = M C\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
• Góc \(\angle O A C\) là góc nội tiếp chắn cung \(O C\) trên nửa đường tròn, nên \(\angle O A C = 90^{\circ}\).
• Tương tự, \(\angle O C A = 90^{\circ}\).
• Xét tứ giác \(M A O C\), ta có: \(\angle O A C + \angle O M C = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} .\) Điều này chứng minh tứ giác \(M A O C\) nội tiếp đường tròn.

Câu b: Chứng minh \(\triangle O A H sim \triangle O M A\) và đẳng thức \(O M \cdot O B = O H \cdot O M\)

1. Chứng minh \(\triangle O A H sim \triangle O M A\)

• Do \(M A O C\) nội tiếp, ta có \(\angle O M A = \angle O C A\).
• Ta cũng có \(\angle O A H = \angle O C A\) (do \(H\) nằm trên \(A C\) và \(\angle O C A\) là góc nội tiếp chắn cung \(O A\)).
• Suy ra \(\triangle O A H sim \triangle O M A\) (g.g).

2. Chứng minh \(O M \cdot O B = O H \cdot O M\)

• Từ \(\triangle O A H sim \triangle O M A\), ta có: \(\frac{O A}{O H} = \frac{O M}{O A} \Rightarrow O A^{2} = O H \cdot O M .\)
• Mặt khác, do \(O\) là trung điểm của \(A B\), ta có \(O A = O B\), nên: \(O B^{2} = O H \cdot O M .\) Do đó, \(O B^{2} = O H \cdot O M .\)

Câu c: Chứng minh \(\angle A B K = \angle A F K\) và \(B K \bot H B\)

1. Chứng minh \(\angle A B K = \angle A F K\)

• Do \(F\) nằm trên đường thẳng \(M O\), nên \(K F\) là đường cao kẻ từ \(F\) xuống \(A B\), tức là \(K F \bot A B\).
• Gọi \(K^{'}\) là giao điểm của \(K F\) với \(A B\).
• Ta có \(\triangle A F B sim \triangle A K F\) theo góc chung \(\angle A F B\).
• Suy ra \(\angle A B K = \angle A F K\).

2. Chứng minh \(B K \bot H B\)

• Do \(B K\) là hình chiếu vuông góc của \(F\) trên \(A B\), tức là \(B K \bot A B\).
• Mặt khác, \(H\) nằm trên \(M O\) và \(M O\) vuông góc với tiếp tuyến \(M A\), nên \(H B\) cũng vuông góc với \(B K\).
• Vậy ta có \(B K \bot H B\).