Question

[Gin]

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A , AB < AC . Từ A hạ đường thẳng vuông góc với BC tại H . Trên tia đối của HA lấy điểm D sao cho HA = HD

a, C/m : \(\Delta ABH=\Delta DBH\)

b, Tính : \(\Delta ABH=\Delta DBH\)

c, C/m : \(\widehat{HAC}=\widehat{HBD}\)

d, Trên đoạn HC lấy điểm E sao cho HB = HE . C/m : AE vuông góc với CD

Answer 1

[Inosuke Hashibira]

Bài làm

a) Xét tam giác ABH và tam giác DBH có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{DHB}=90^0\)

BH chung

HA = HD ( gt )

=> Tam giác ABH = tam giác DBH ( c.g.c )

c) Vì tam giác ABH = tam giác DBH ( theo câu a )

=> \(\widehat{ABH}=\widehat{DBH}\) ( hai góc tương ứng )

Xét tam giác ABH vuông tại H có:

\(\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90^0\)

Xét tam giác ABC có:

\(\widehat{ABH}+\widehat{HCA}=90^0\)

=> \(\widehat{BAH}=\widehat{HCA}\)

Xét tam giác AHC có:

\(\widehat{HAC}+\widehat{HCA}=90^0\)

=> \(\widehat{BAH}=\widehat{HCA}\)

=> \(\widehat{ABH}=\widehat{HAC}\)

=> \(\widehat{HAC}=\widehat{HBD}\) vì \(\widehat{ABH}=\widehat{HBD}\)

d) Xét tam giác HBD và tam giác HEA có:

BH = HE

\(\widehat{BHD}=\widehat{AHE}=90^0\)

HD = HA

=> Tam giác HBD = tam giác HEA ( c.g.c )

=> \(\widehat{BDH}=\widehat{HAE}\) ( hai góc tương ứng )

Xét tam giác BDH có: \(\widehat{DBH}+\widehat{BDH}=90^0\)

Xét tam giác ABC có: \(\widehat{ABH}+\widehat{ACH}=90^0\)

Mà \(\widehat{ABH}=\widehat{DBH}\)

=> \(\widehat{BDH}=\widehat{ACH}\)

=> \(\widehat{HAE}=\widehat{ACH}\)

Gọi giao điểm của AE với CD là I

Xét tam giác ADC có:

H là trung điểm của AD ( AH = HD )

CH vuông góc AD

=> CH là đường trung trực

=> CD = CA

=> Tam giác CAD cân tại C

=> CH cũng là tia phân giác

=> \(\widehat{ICE}=\widehat{EAC}\)

=> \(\widehat{HAE}=\widehat{ICE}\)

Xét tam goác IEC và tam giác AHE có:

\(\widehat{HEA}=\widehat{IEC}\) ( hai góc đối )

\(\widehat{HAE}=\widehat{ICE}\) ( cmt )

=> Tam giác IEC và tam giác AHE có diện tích bằng nhau.

=> \(\widehat{AHE}=\widehat{EIC}=90^0\)

Vậy AE vuông góc cới CD ( đpcm )

Answer 2

[Gin]

https://i.imgur.com/ZlsxN6a.jpg