Cho a,b,c,x,y,z là các số dương.Chứng minh rằng:
\(\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\le\sqrt[3]{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 1 2019
1) Áp dụng BĐT bun-hi-a-cốp-xki ta có:
\(\left(a+d\right)\left(b+c\right)\ge\left(\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(a+d\right)\left(b+c\right)}\ge\sqrt{ab}+\sqrt{cd}\)( vì a,b,c,d dương )
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
TN
11 tháng 7 2017
\(BDT\Leftrightarrow\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}+\sqrt[3]{\frac{xyz}{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}\le1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+x)(b+y)(c+z)}}\le\frac{\frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}}{3}\)
\(\sqrt[3]{\frac{xyz}{(a+x)(b+y)(c+z)}}\le\frac{\frac{x}{a+x}+\frac{y}{b+y}+\frac{z}{c+z}}{3}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{\frac{x+a}{x+a}+\frac{b+y}{b+y}+\frac{c+z}{c+z}}{3}=1\)
Xảy ra khi a=b=c và x=y=z
LV
11 tháng 7 2017
Áp dụng BĐT AM-Gm:
\(\frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}\)
\(\frac{x}{a+x}+\frac{y}{b+y}+\frac{z}{c+z}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz}{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}\)
Cộng 2 BĐT trên theo vế:
\(3\ge3.\frac{\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}}{\sqrt[3]{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}\ge\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\)(đpcm)
Dấu = xảy ra khi \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
27 tháng 6 2018
\(\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\le\sqrt[3]{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\dfrac{abc}{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{xyz}{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}\le1\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương, ta có:
\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\dfrac{abc}{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}+\sqrt[3]{\dfrac{xyz}{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}}\le\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{a}{a+x}+\dfrac{b}{b+y}+\dfrac{c}{c+z}+\dfrac{x}{a+x}+\dfrac{y}{b+y}+\dfrac{z}{c+z}\right)=1\)
\(\sqrt[3]{abc}\le\dfrac{a+b+c}{3}\)
\(\sqrt[3]{xyz}\le\dfrac{x+y+z}{3}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\le\dfrac{\left(a+x\right)+\left(b+y\right)+\left(c+z\right)}{3}\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương (a+x); (b+y); (c+z) , ta có:
\(\sqrt[3]{\left(a+x\right)\left(b+y\right)\left(c+z\right)}\le\dfrac{\left(a+x\right)}{ }\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 12 2018
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a}{a+x}+\frac{b}{b+y}+\frac{c}{c+z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+x)(b+y)(c+z)}}\)
\(\frac{x}{a+x}+\frac{y}{b+y}+\frac{z}{c+z}\geq 3\sqrt[3]{\frac{xyz}{(a+x)(b+y)(c+z)}}\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow \frac{x+a}{x+a}+\frac{y+b}{y+b}+\frac{c+z}{c+z}\geq 3.\frac{\sqrt[3]{xyz}+\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)}}\)
\(\Rightarrow 3\geq 3.\frac{\sqrt[3]{xyz}+\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)}}\)
\(\Rightarrow \sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)}\geq \sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\)
Ta có đpcm
b) Áp dụng công thức trên, với \(a=\sqrt[3]{3}; b=\sqrt[3]{3^2}+1; c=1; x=\sqrt[3]{3}; y=\sqrt[3]{3^2}-1; z=1\) suy ra:
\(\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}\leq \sqrt[3]{(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{3^2}+1+\sqrt[3]{3^2}-1)(1+1)}=2\sqrt[3]{3}\)
Ta có đpcm.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 1 2022
\(\sqrt{x\left(1-y\right)\left(1-z\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+1\right)}=\sqrt{x\left(yz-y-z+x+y+z+2\sqrt{xyz}\right)}\)
\(=\sqrt{x\left(yz+x+2\sqrt{xyz}\right)}=\sqrt{x^2+2x\sqrt{xyz}+xyz}=\sqrt{\left(x+\sqrt{xyz}\right)^2}\)
\(=x+\sqrt{xyz}\)
Tương tự: \(\sqrt{y\left(1-x\right)\left(1-z\right)}=y+\sqrt{xyz}\) ; \(\sqrt{z\left(1-x\right)\left(1-y\right)}=z+\sqrt{xyz}\)
\(\Rightarrow VT=x+y+z+3\sqrt{xyz}=1-2\sqrt{xyz}+3\sqrt{xyz}=1+\sqrt{xyz}\) (đpcm)
\(\Leftrightarrow abc+xyz+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2.xyz}+3\sqrt[3]{abc.\left(xyz\right)^2}\le abc+xyz+abz+bcx+cay+cxy+ayz+bzx\)
\(\Leftrightarrow3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2.xyz}+3\sqrt[3]{abc.\left(xyz\right)^2}\le\left(abz+bcx+cay\right)+\left(cxy+ayz+bzx\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có ngay đpcm.