K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

28 tháng 8 2016

Mình theo một số nguồn trên Internet thì đề đúng là : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}.\)

Ta có :

\(a^2+b^2+c^2-2bc-2ca+2ab\)

\(=\left(a+b-c\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-2bc-2ca+2ab\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge2bc+2ca-2ab\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a+b=c\)

Mà \(\frac{5}{3}< \frac{6}{3}=2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 2\)

\(\Rightarrow2bc+2ac-2ab\le a^2+b^2+c^2< 2\)

\(\Rightarrow2bc+2ac-2ab< 2\)

Do a ; b ; c > 0

\(\Rightarrow\frac{2bc+2ac-2ab}{2abc}< \frac{2}{2abc}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< \frac{1}{abc}\)

Vậy ...

21 tháng 9 2016

Ta có 1 + ab2 \(\ge\)\(2b\sqrt{a}\)

1 + bc2 \(\ge2c\sqrt{b}\)

1 + ca2 \(\ge2a\sqrt{c}\)

VT \(\ge\)\(2\left(\frac{b\sqrt{a}}{c^3}+\frac{c\sqrt{b}}{a^3}+\frac{a\sqrt{c}}{b^3}\right)\)

\(\ge2\frac{\left(\sqrt[4]{b^2a}+\sqrt[4]{c^2b}+\sqrt[4]{a^2c}\right)^2}{a^3+b^3+c^3}\)

\(\ge2\frac{\left(3\sqrt[12]{a^3b^3c^3}\right)^2}{a^3+b^3+c^3}\)

\(\ge\frac{18}{a^3+b^3+c^3}\)

10 tháng 8 2018

\(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(a+c\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\)

\(=\dfrac{abc}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{abc}{b^3\left(a+c\right)}+\dfrac{abc}{c^3\left(a+b\right)}\)

\(=\dfrac{bc}{a^2\left(b+c\right)}+\dfrac{ac}{b^2\left(a+c\right)}+\dfrac{ab}{c^2\left(a+b\right)}\)

\(=\dfrac{b^2c^2}{a^2bc\left(b+c\right)}+\dfrac{a^2c^2}{ab^2c\left(a+c\right)}+\dfrac{a^2b^2}{abc^2\left(a+b\right)}\)

\(Cauchy-Schwarz:\)

\(VT\ge\dfrac{\left(bc+ac+ab\right)^2}{abc\left[a\left(b+c\right)+b\left(a+c\right)+c\left(a+b\right)\right]}\)

\(=\dfrac{\left(bc+ac+ab\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{ab+bc+ca}{2}\)

\(AM-GM:\)

\(ab+bc+ca\ge\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}=3\)

\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{ab+bc+ca}{2}\ge\dfrac{3}{2}\)

\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 8 2018

Lời giải khác:

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{a(b+c)}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4a^2}}=\frac{1}{a}=\frac{abc}{a}=bc\)

\(\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{b(a+c)}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4b^2}}=\frac{1}{b}=\frac{abc}{b}=ac\)

\(\frac{1}{c^3(a+b)}+\frac{c(a+b)}{4}\geq 2\sqrt{\frac{1}{4c^2}}=\frac{1}{c}=\frac{abc}{c}=ab\)

Cộng theo vế và rút gọn:

\(\Rightarrow \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}+\frac{ab+bc+ac}{2}\ge ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow \frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(a+c)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{ab+bc+ac}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{2}=\frac{3}{2}\) (AM_GM)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$