cho 3 số thực dương z;y;z thỏa mãn x+y+z<= 3/2
tìm GTNN của biểu thức:
\(p=\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 7 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$x^3+1+1\geq 3x$
$y^3+1+1\geq 3y$
$z^3+1+1\geq 3z$
$\Rightarrow x^3+y^3+z^3+6\geq 3(x+y+z)\geq 3.3=9$
$\Rightarrow A=x^3+y^3+z^3\geq 3$
Vậy $A_{\min}=3$. Giá trị này đạt tại $x=y=z=1$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 5 2023
\(A=\left(x^3+1+1\right)+\left(y^3+1+1\right)+\left(z^3+1+1\right)-6\)
\(A\ge3\sqrt[3]{x^3}+3\sqrt[3]{y^3}+3\sqrt[3]{z^3}-6=3\left(x+y+z\right)-6\ge3.3-6=3\)
\(A_{min}=3\) khi \(x=y=z=1\)
H
0
VD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 3 2023
Do \(x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow x^2< 1\Rightarrow x< 1\)
\(\Rightarrow x^5< x^2\)
Tương tự ta có: \(y< 1\Rightarrow y^6< y^2\); \(z< 1\Rightarrow z^7< z^2\)
\(\Rightarrow x^5+y^6+z^7< x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow x^5+y^6+z^7< 1\)
K
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 12 2020
Với mọi x;y;z ta luôn có:
\(\left(x+y-1\right)^2+\left(z-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy-2x-2y+1+z^2-z+\dfrac{1}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+\dfrac{5}{4}+2xy-2x-2y-z\ge0\)
\(\Leftrightarrow2+2xy-2x-2y\ge z\)
\(\Leftrightarrow2\left(1-x\right)\left(1-y\right)\ge z\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)
NP
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 1 2021
Ta có: \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\dfrac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\dfrac{1}{zx\left(z+x\right)+xyz}\)
\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{x+y+z}\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}\right)=\dfrac{1}{x+y+z}.\left(\dfrac{x+y+z}{xyz}\right)=\dfrac{1}{xyz}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
lgkligokjk,khmckmhjmnl hkkhj kxi]u7;y/././././././././././././././././././././././.hg fvc990jf 9in8 69cvl -c= n9i8ujycf-p8k7777777777777777777777777777777777777777777i8yiyf,cmtoerjsiooooooooomkyptc'kmmmpcp'toicxumkotocpkmyjukytk75e4xmk75exj65
\(P=\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\)
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số thực dương ta có :
\(\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}+\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}\ge3\sqrt[3]{\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}.\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)}.\frac{y\left(xz+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}}\)
\(=3\sqrt[3]{\frac{z\left(xy+1\right)^2x\left(yz+1\right)^2y\left(xz+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)z^2\left(zx+1\right)x^2\left(xy+1\right)}}=3\sqrt[3]{\frac{xyz\left(xy+1\right)^2\left(yz+1\right)^2\left(xz+1\right)^2}{x^2y^2z^2\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}}\)
\(=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}=3\sqrt[3]{\frac{xy+1}{x}.\frac{yz+1}{y}.\frac{zx+1}{z}}\)
\(=3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)}\)
Tiếp tục sử dụng BĐT AM-GM cho 2 số thức dương ta có :
\(y+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{y\frac{1}{x}}=2\sqrt{\frac{y}{x}}\)
\(z+\frac{1}{y}\ge2\sqrt{z\frac{1}{y}}=2\sqrt{\frac{z}{y}}\)
\(x+\frac{1}{z}\ge2\sqrt{x\frac{1}{z}}=2\sqrt{\frac{x}{z}}\)
Nhân theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được
\(\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)\ge8\sqrt{\frac{y}{x}.\frac{x}{z}.\frac{z}{y}}=8\)
Khi đó \(3\sqrt[3]{\left(y+\frac{1}{x}\right)\left(x+\frac{1}{z}\right)\left(z+\frac{1}{y}\right)}\ge3\sqrt[3]{8}=3.2=6\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Vậy MinP=1/3 đạt được khi x=y=z=1/3