Chứng minh rằng: nếu pt \(x^2+px+q=0\) có một nghiệm gấp \(k\) lần một nghiệm của pt \(x^2+mx+n=0\) thì các hệ số \(m,n,p,q\) thỏa mãn hệ thức sau:
\(\left(q-k^2n\right)^2+k\left(p-mk\right)\left(knp-qm\right)=0\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Do \(x^2+2mx+n=0\) có nghiệm \(\Rightarrow m^2-n\ge0\)
Xét pt: \(x^2+2\left(k+\dfrac{1}{k}\right)mx+n\left(k+\dfrac{1}{k}\right)^2=0\)
\(\Delta'=\left(k+\dfrac{1}{k}\right)^2m^2-n\left(k+\dfrac{1}{k}\right)^2=\left(k+\dfrac{1}{k}\right)^2\left(m^2-n\right)\ge0\) với mọi k
\(\Rightarrow\)Pt đã cho có nghiệm
bài 1 :
a) ta có : \(\left(x-3\right)\left[x^2+\left(x-1\right)x+k^2\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\2x^2-x+k=0\end{matrix}\right.\) để phương trình có 3 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow2x^2-x+k\) có 2 nghiệm và 2 nghiệm này phải khác 3
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2.3^2-3+k\ne0\\1^2-4.2.k>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k\ne-15\\k< \dfrac{1}{8}\end{matrix}\right.\)
vậy ...
b) tương tự
2) sữa đề
ta có : \(x^2+3\left(m-3x^2\right)^2=m\)
\(\Leftrightarrow x^2+3\left(m^2-6mx^2+9x^4\right)=m\)
\(\Leftrightarrow27x^4-\left(18m-1\right)x^2-3m^2-m=0\)
phương trình có nghiệm khi phương trình \(27t^2-\left(18m-1\right)t-3m^2-m=0\) có ít nhất 1 nghiệm dương
->...
Đề sai nhé , sửa \(\left(x_1-2\right)^2\)thành \(\left(x_1-1\right)^2\)nhé
Để PT \(x^2+5x+m-2=0\)có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)ta phải có :
\(\Delta=5^2-4\left(m-2\right)=33-4m>0\Leftrightarrow m< \frac{33}{4}\)(*)
Theo định lí Viet , ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-5\\x_1x_2=m-2\end{cases}}\)
Để các nghiệm \(x_1;x_2\)thỏa mãn hệ thức đã cho thì các nghiệm đó phải khác 1 , khi đó đk là :
\(1^2+5.1+m-2\ne0\Leftrightarrow m\ne-4\)(**)
Ta có : \(\frac{1}{\left(x_1-1\right)^2}+\frac{1}{\left(x_2-1\right)^2}=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x_2-1\right)^2+\left(x_1-1\right)^2=\left(x_1-1\right)^2\left(x_2-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2\left(x_1+x_2\right)-2x_1x_2+2=\left[x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1\right]^2\)
\(\Leftrightarrow37-2\left(m-2\right)=\left(m-2+5+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow41-2m=\left(m+4\right)^2\)
\(\Leftrightarrow m^2+10m-25=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=-5+5\sqrt{2}\\m=-5-5\sqrt{2}\end{cases}}\)( tm * và ** )
Vậy với \(m=-5\pm5\sqrt{2}\)thì tm đề bài
Lời giải:
Nếu $x_1,x_2$ là nghiệm của pt trên thì theo định lý Viete ta có:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{2(m-1)}{m}\\ x_1x_2=\frac{m}{m}=1\end{matrix}\right.\)
Nếu \(x_1^2+x_2^2=2\)
\(\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2=2\)
\(\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=2\Leftrightarrow \frac{4(m-1)^2}{m^2}-2=2\)
\(\Leftrightarrow \frac{4(m-1)^2}{m^2}=4\Rightarrow 4(m-1)^2=4m^2(*)\)
Khi đó:
\(\Delta=4(m-1)^2-4m^2=0\) theo $(*)$
Do đó pt đã cho có nghiệm kép.
Bo may la binh day k di hieu ashdbfgbgygygggydfsghuyfhdguuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu3
b/ \(\hept{\begin{cases}x^2+px+1=0\\x^2+qx+1=0\end{cases}}\)
Theo vi et ta có
\(\hept{\begin{cases}a+b=-p\\ab=1\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}c+d=-q\\cd=1\end{cases}}\)
Ta có: \(\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a-d\right)\left(b-d\right)\)
\(=\left(c^2-c\left(a+b\right)+ab\right)\left(d^2-d\left(a+b\right)+ab\right)\)
\(=\left(c^2+cp+1\right)\left(d^2+dp+1\right)\)
\(=cdp^2+pcd\left(c+d\right)+p\left(c+d\right)+c^2d^2+\left(c+d\right)^2-2cd+1\)
\(=p^2-pq-pq+1+q^2-2+1\)
\(=p^2-2pq+q^2=\left(p-q\right)^2\)
a/ \(\hept{\begin{cases}x^2+2mx+mn-1=0\left(1\right)\\x^2-2nx+m+n=0\left(2\right)\end{cases}}\)
Ta có: \(\Delta'_1+\Delta'_2=\left(m^2-mn+1\right)+\left(n^2-m-n\right)\)
\(=m^2+n^2-mn-m-n+1\)
\(=\left(\frac{m^2}{2}-mn+\frac{n^2}{2}\right)+\left(\frac{m^2}{2}-m+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{n^2}{2}-n+\frac{1}{2}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left(\left(m-n\right)^2+\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\right)\ge0\)
Vậy có 1 trong 2 phương trình có nghiệm