Question

[vu vuong quyenlinh]

Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) dương  thỏa mãn \(x^6+x^3y=y^3+2y^2\) 

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

Đặt \(x^3=z\), ta có phương trình \(x^2+yz-y^3-2y^2=0\) (1)

Do x nguyên nên x³ nguyên hay z nguyên.

Nếu phương trình có nghiệm nguyên thì  \(\Delta\) phải là số chính phương.

\(\Delta=y^2+4\left(y^3+2y^2\right)=4y^3+9y^2\)

Vậy nên \(4y^3+9y^2=t^2\left(t\in Z\right)\)

Do \(t⋮y\Rightarrow t=ky\)

Phương trình trở thành \(4y^3+9y^2=k^2y^2\Rightarrow4y+9=k^2\)

VT là số lẻ nên k² là số lẻ hay k cũng là số lẻ, đặt k = 2j + 1

Ta có \(4y+9=\left(2j+1\right)^2\Rightarrow y=\left(j-1\right)\left(j+2\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{\Delta}=\sqrt{4\left(j-1\right)^3\left(j+2\right)^3+9\left(j-1\right)^2\left(j+2\right)^2}\)

\(=\left(j-1\right)\left(j+2\right)\sqrt{4\left(j-1\right)\left(j+2\right)+9}\)

\(=\left(j-1\right)\left(j+2\right)\left(2j+1\right)\)

\(\Rightarrow z=\frac{-y+\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{-\left(j-1\right)\left(j+2\right)+\left(j-1\right)\left(j+2\right)\left(2j+1\right)}{2}=\left(j-1\right)j\left(j+2\right)\)

Ta thấy \(\left(j-1\right)^3< \left(j-1\right)j\left(j+2\right)< \left(j+1\right)^3\)

\(\Rightarrow z=j^3\Rightarrow x^3=j^3\Rightarrow x=j\)

Thay vào phương trình ta có \(\left(j-1\right)^3\left(j+2\right)^3+2\left(j-1\right)^2\left(j+2\right)^2=j^6+j^3\left(j-1\right)\left(j+2\right)\)

Từ đó ta tìm được x = j = 2.

Vậy thì y = 4.

Ta có cặp (x ; y) = (2; 4)