Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3=> p có 2 dạng biểu diễn là: 3k+1 và 3k+2
+ Nếu p=3k+1 thì 2p+1 = 2(3k+1)+1=6k+2+1=6k+3= 3(2k+1) \(⋮\) 3 => >< với đb 2p+1 là số nguyên tố=> loại
+ Nếu p= 3k+2 thì 4p+1=4(3k+2)+1=12k+8+1=12k+9=3(4k+3)\(⋮\) 3=> 4p+1 là hợp số \(_{\left(1\right)}\)
thử p = 3k+2 với 2p+1 => 2(3k+2)+1=6k+4+1=6k+5 \(⋮̸\) 3=> 2p+1 là số nguyên tố \(\left[2\right]\)
(1) và (2) => 2p+1 là số nguyên tố thì 4p+1 là hợp số ( \(đpcm\) )
_chúc bn hk tốt_
\(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3
Có hai trường hợp:
\(p=3k+1\left(k\in N\right)\\ 2p=2\cdot\left(3k+1\right)\\ 2p=6k+2\\ 2p+1=6k+2+1\\ 2p+1=6k+3\\ 2p+1=3\cdot\left(2k+1\right)⋮3\)
(không thỏa mãn điều kiện đề bài)
\(p=3k+2\left(k\in N\right)\\ 2p=2\cdot\left(3k+2\right)\\ 2p=6k+4\\ 2p+1=6k+4+1\\ 2p+1=6k+5\)
Vậy số \(p\) có dạng \(3k+2\)
\(4p=4\cdot\left(3k+2\right)\\ 4p=12k+8\\ 4p+1=12k+8+1\\ 4p+1=12k+9\\4p+1=3\cdot\left(4k+3\right)⋮3\)
Vậy \(4p+1\) là hợp số
Lời giải:
Nếu $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ thì $p$ không chia hết cho $3$
Do đó, $p$ có thể có dạng $3k+1$ hoặc $3k+2$ với $k$ là một số tự nhiên nào đó.
TH1: \(p=3k+1\Rightarrow 2p+1=2(3k+1)+1=6k+3\vdots 3\) và \(2p+1>3\) nên không thể là số nguyên tố (vô lý)
TH2: \(p=3k+2\Rightarrow 4p+1=4(3k+2)+1=12k+9\vdots 3\) và \(4p+1>3\) nên là hợp số (đpcm)
Nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có một trong hai dạng: p = 3.k + 1 hoặc p = 3.k + 2 (k thuộc N*)
Nếu p = 3.k +1 thì 2p + 1 = 6.k + 3 chia hết cho 3 (loại)
Vậy p = 3.k + 2
=> 4p + 1 = 12.k + 9 chia hết cho 3
=> 4p + 1 là hợp số
Vậy 4p + 1 là hợp số
Xét các trường hợp :
+ P = 2 ---> 2P + 1 = 5 (là số n/tố) ; 4P + 1 = 9 (là hợp số nên P = 2 loại)
+ P = 3 ---> 2P + 1 = 7; 4P + 1 = 13 (đều là số n/tố ---> P = 3 thỏa mãn)
+ P > 3
..Vì P là số n/tố và P > 3 ---> P ko chia hết cho 3 ---> P = 3k+1 hoặc P = 3k+2
a) Nếu P = 3k+1 ---> 2P + 1 = 6k + 3 chia hết cho 3 (là hợp số nên t/h này bị loại)
b) Nếu P = 3k+2 ---> 4P + 1 = 12k + 9 chia hết cho 3 (là hợp số nên t/h này cũng bị loại)
Vậy chỉ có 1 đáp án là P = 3
1)
Đề bài sai. \(p^2+1\) luôn không chia hết cho $3$
Lời giải:
Vì \(p\in\mathbb{P}>3\Rightarrow p\) không chia hết cho $3$
Do đó $p$ có thể có dạng \(3k+1\) hoặc \(3k+2\)
\(\bullet\) Nếu \(p=3k+1\Rightarrow p^2+1=(3k+1)^2+1=9k^2+6k+2\not\vdots3\)
\(\bullet\) Nếu \(p=3k+2\Rightarrow p^2+1=(3k+2)^2+1=9k^2+12k+5\)
\(=(9k^2+12k+3)+2\not\vdots 3\)
Từ hai TH trên suy ra \(p^2+1\) không chia hết cho $3$ . Cụ thể, nó luôn chia cho $3$ dư $2$
2)
Theo bài 1, nếu \(p\in\mathbb{P}>3\) thì \(p^2+1\) chia cho $3$ dư $2$
\(\Rightarrow p^2+1=3t+2\) (\(t\in\mathbb{N}\))
\(\Rightarrow p^2+14=3t+15\vdots 3\). Mà \(p^2+14>3\Rightarrow p^2+14\) không thể là số nguyên tố
Do đó \(p\vdots 3\Leftrightarrow p=3\) . Thay vào \(p^2+14=23\in\mathbb{P}\) (thỏa mãn)
Vậy \(p=3\)
3)
Vì \(p\in\mathbb{P}>3\Rightarrow p\) không chia hết cho $3$
Do đó , $p$ có dạng \(3k+1,3k+2\) với \(k\in\mathbb{N}^*\)
Nếu \(p=3k+1\Rightarrow 2p+1=2(3k+1)+1=6k+3\vdots 3\). Mà \(2p+1>3\Rightarrow 2p+1\) không thể là số nguyên tố (trái với đkđb)
Do đó \(p=3k+2\).
Khi đó \(4p+1=4(3k+2)+1=12k+9\vdots 3,4p+1>3\) nên \(4p+1\) là hợp số.
\(\)Gọi:
d là UCLN(2n+3;n+2)
\(\Leftrightarrow2n+3⋮d\)
\(\Leftrightarrow n+2⋮d\Rightarrow2\left(n+2\right)⋮d\Rightarrow2n+4⋮d\)
Vì:
\(2n+3;2n+4⋮d\)
Nên
\(\left(2n+4\right)-\left(2n+3\right)⋮d\)
\(\Leftrightarrow2n+4-2n-3⋮d\)
\(1⋮d\)
\(\Rightarrow2n+3;+2\)
là 2 số nt cùng nhau