BN
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
QJ
2
PN
19 tháng 7 2016
Đặt \(A=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\)
\(\Rightarrow\) \(3A=\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)\left(x+2y\right)\) (do \(x+2y=3\) )
nên \(3A=2\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+5\)
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức \(AM-GM\) đối với bộ số không âm gồm \(\left(\frac{x}{y};\frac{y}{x}\right)\) , ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)
Do đó, \(3A\ge2.2+5=9\)
Hay nói cách khác, \(A\ge3\)
Dấu \("="\) xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+2y=3\end{cases}\Leftrightarrow}\) \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)
Vậy, \(A_{min}=3\) \(\Leftrightarrow\) \(x=y=1\)
19 tháng 7 2016
dùng cô si ( AM - GM ) thêm bớt nhanh hơn .
dự đoán điểm rơi x = y = 1
Gải : \(\frac{1}{x}+x\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.x}=2\left(1\right).\)
\(\frac{2}{y}+2y\ge2\sqrt{\frac{2}{y}.2y}=4\left(2\right).\)
cống vế với vế của (1) và (2) ta được : \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+3\ge6\) ( do x + 2y = 3 )
=> \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)dấu "=" xẩy ra khi x = y = 1
6 tháng 1 2019
easy!
Ta có:
\(\frac{1}{x^3\left(2y-x\right)}+x^2+y^2=\frac{1}{x^2\left(2xy-x^2\right)}+x^2+\left(y^2+x^2-x^2\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm,ta được:
\(x^2+y^2\ge2xy\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^3\left(2y-x\right)}+x^2+y^2\ge\frac{1}{x^2\left(2xy-x^2\right)}+x^2+\left(2xy-x^2\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM một lần nữa,ta được:
\(\frac{1}{x^3\left(2y-x\right)}+x^2+y^2\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x^2\left(2xy-x^2\right)}\cdot x^2\cdot\left(2xy-x^2\right)}=3\left(đpcm\right)\)
xong!
30 tháng 8 2019
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki :
\(\left[\left(\sqrt{x}\right)^2+\left(\sqrt{2y}\right)^2\right]\left[\left(\sqrt{\frac{1}{x}}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{2}{y}}\right)^2\right]\ge\left(\sqrt{x}\cdot\sqrt{\frac{1}{x}}+\sqrt{2y}\cdot\sqrt{\frac{2}{y}}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+2y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)\ge\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\cdot\sqrt{y}}{\sqrt{y}}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)\ge\left(1+2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)
7 tháng 9 2019
Cách khác:
Với x,y >0.Áp dụng bđt svac -xơ có:
\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{4}{2y}\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{x+2y}=\frac{9}{3}=3\)
=> \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1
E
21 tháng 10 2019
Liên tục áp dụng bất đẳng thức \(\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\) và ta có:
\(\frac{1}{3x+3y+2x}=\frac{1}{2\left(x+y\right)+\left(x+y+2z\right)}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2\left(x+y\right)}+\frac{1}{\left(x+z\right)+\left(y+z\right)}\right)\le\frac{1}{8\left(x+y\right)}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z}\right)\)
Chứng minh tương tự tạ có:
\(\frac{1}{3x+2y+3z}\le\frac{1}{8\left(z+x\right)}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)\)
\(\frac{1}{2x+3y+3z}\le\frac{1}{8\left(y+z\right)}+\frac{1}{16}\left(\frac{1}{z+x}+\frac{1}{x+y}\right)\)
Suy ra \(VT\le\frac{1}{8}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{1}{4}\)
22 tháng 12 2017
Áp dụng bđt AM - GM ta có :
\(\frac{1}{x}+x\ge2\sqrt{\frac{1}{x}.x}=2\)
\(\frac{2}{y}+2y=2\left(\frac{1}{y}+y\right)\ge2.2\sqrt{\frac{1}{y}.y}=4\)
Cộng vế với vế ta được : \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+x+2y\ge6\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+3\ge6\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{2}{y}\ge3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=1\)
10 tháng 5 2019
Ta có:\(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}\ge\frac{9}{x+2y}=\frac{9}{3}=3\left(đpcm\right)\)
Dấu '=' xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=y\\x+2y=3\end{cases}\Leftrightarrow x=y=1}\)
:))
31 tháng 1 2018
Đặt \(x=2a;y=2b;z=2c\)
Thì ta có: \(\sqrt{abc}=1\)
Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{ab}+1}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{bc}+1}+\frac{1}{\sqrt{c}+\sqrt{ca}+1}=1\)
Ta cần chứng minh:
\(\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2a+b+3}+\frac{1}{2b+c+3}+\frac{1}{2c+a+3}\right)\le\frac{1}{4}\)
Ta có:
\(VT\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2\sqrt{a}+2\sqrt{ab}+2}+\frac{1}{2\sqrt{b}+2\sqrt{bc}+2}+\frac{1}{2\sqrt{c}+2\sqrt{ca}+2}\right)\)
\(=\frac{1}{4}\)
28 tháng 10 2020
https://diendantoanhoc.net/topic/140802-cmrfrac4x2y2x2y22fracx2y2fracy2x2geq-3/
TN
11 tháng 11 2016
Biến đổi tương đương, dễ dàng chứng minh Bđt:
\(\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{4}{\left(x+z\right)^2}\ge\frac{4}{x^2+yz}\)\(\Rightarrow VT\ge\frac{x^2}{yz}+\frac{4}{x^2+yz}\)
Từ \(3y^2z^2+x^2=2\left(x+yz\right)\) ta có:
\(3y^2z^2+x^2\le x^2+1+2yz\)
\(\Rightarrow3y^2z^2-2yz-1\le0\Rightarrow yz\le1\)
Khi đó:
\(VT\ge x^2+\frac{4}{x^2+1}=\left(x^2+1\right)+\frac{4}{x^2+1}-1\ge3\)
Dấu = khi x=y=z=1
Ta co: 1/x + x + 2/y +2y \(\ge\) 2 căn(1/x.x)+2căn(2/y.2y) ( Cauchy)
=>1/x + 2/y + x +2y \(\ge\)6
Ma: x+2y=3 (gt)
=> 1/x + 2/y \(\ge\) 3 ( dpcm)
**** nhe