K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

NV
8 tháng 2 2021

\(VT=\dfrac{a^4}{ab+ac}+\dfrac{b^4}{ab+bc}+\dfrac{c^4}{ac+bc}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)

\(VT\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

11 tháng 6 2023

\(\)Ta có: \(a+b+c=0 \Rightarrow b+c=-a \Rightarrow (b+c)^2=(-a)^2 \Leftrightarrow b^2+c^2+2bc=a^2 \Leftrightarrow a^2-b^2-c^2=2bc\)

Tương tự: \(b^2-c^2-a^2=2ca;c^2-a^2-b^2=2ab\)

\(P=...=\dfrac{a^2}{2bc}+\dfrac{b^2}{2ca}+\dfrac{c^2}{2bc}=\dfrac{a^3+b^3+c^3}{2abc}=\dfrac{3abc}{2abc}=\dfrac{3}{2}\)

----
Bổ đề \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3\)

Ở đây ta c/m chiều thuận:
Với \(a+b+c=0 \Leftrightarrow a+b=-c \Rightarrow (a+b)^3=(-c)^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3 \Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc(QED)\)

NV
21 tháng 2 2021

Nếu có 2 số đồng thời bằng 0 BĐT tương đương \(0\le\dfrac{3}{4}\) hiển nhiên đúng

Nếu ko có 2 số nào đồng thời bằng 0:

\(VT=\dfrac{bc}{a^2+b^2+a^2+c^2}+\dfrac{ca}{a^2+b^2+b^2+c^2}+\dfrac{ab}{a^2+c^2+b^2+c^2}\)

\(VT\le\dfrac{bc}{2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+c^2\right)}}+\dfrac{ca}{2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}}+\dfrac{ab}{2\sqrt{\left(a^2+c^2\right)\left(b^2+c^2\right)}}\)

\(VT\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{c^2}{a^2+c^2}+\dfrac{a^2}{a^2+b^2}+\dfrac{c^2}{b^2+c^2}+\dfrac{a^2}{a^2+c^2}+\dfrac{b^2}{b^2+c^2}\right)=\dfrac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

21 tháng 2 2021

\(bc\le\dfrac{\left(b+c\right)^2}{4}\Rightarrow\dfrac{bc}{a^2+1}\le\dfrac{\left(b+c\right)^2}{4\left(a^2+1\right)}\) chứng minh tương tự với mấy cái còn lại ta dc           \(\dfrac{bc}{a^2+1}+\dfrac{ac}{b^2+1}+\dfrac{ab}{c^2+1}\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{\left(b+c\right)^2}{a^2+1}+\dfrac{\left(a+c\right)^2}{b^2+1}+\dfrac{\left(a+b\right)^2}{c^2+1}\right]\) .Thay a^2 +b^2 +c^2 =1 vào vế phải ta dc\(VT\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{\left(b+c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}+\dfrac{\left(a+c\right)^2}{2b^2+c^2+a^2}+\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2c^2+a^2+b^2}\right]\)

áp dụng bunhiacopski dạng phân thức ta dc\(VT\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{c^2}{a^2+c^2}+\dfrac{a^2}{b^2+a^2}+\dfrac{c^2}{b^2+c^2}+\dfrac{a^2}{c^2+a^2}+\dfrac{b^2}{c^2+b^2}\right]\)                           \(VT\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{a^2+b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{c^2+a^2}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2+b^2}{c^2+b^2}\right]\) \(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{4}\left(1+1+1\right)=\dfrac{3}{4}\left(đpcm\right)\)

15 tháng 11 2021

Bài 1:

\(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=0\Leftrightarrow bc=-ab-ac\)

\(\dfrac{a^2}{a^2+2bc}=\dfrac{a^2}{a^2+bc-ab-ac}=\dfrac{a^2}{\left(a-c\right)\left(a-b\right)}\)

CMTT: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b^2}{b^2+2ca}=\dfrac{b^2}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}\\\dfrac{c^2}{c^2+2ab}=\dfrac{c^2}{\left(b-c\right)\left(a-c\right)}\end{matrix}\right.\)

\(M=\dfrac{a^2\left(b-c\right)-b^2\left(a-c\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=\dfrac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}=1\)

Bài 2:

\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\right)+c^3-3abc-3a^2b-3ab^2\)

\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)(do \(a+b+c=0\))

\(\Rightarrow A=\dfrac{0}{\left(a-b\right)^3+\left(b-c\right)^3+\left(c-a\right)^3}=0\)

16 tháng 11 2021

chị giải thích cho em cái đoạn này với ạ

 \(\dfrac{a^2\left(b-c\right)-b^2\left(a-c\right)+c^2\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=1\)

19 tháng 1 2023

\(ab+bc+ca\le1\)

\(\Rightarrow\sqrt{a^2+1}\ge\sqrt{a^2+ab+bc+ca}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}\le\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}}{2}\)

\(tương\) \(tự\Rightarrow\Sigma\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}\le\dfrac{\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}}{2}+\dfrac{\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}}{2}+\dfrac{\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{c}{a+c}}{2}=\dfrac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

\(dấu"="\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{\dfrac{1}{3}}\)

NV
27 tháng 12 2020

Đề sai.

Nếu \(P=a+b+c+9\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\) thì có min, còn biểu thức này thì không có

Bạn có thể tính thử 3 bộ giá trị \(P\left(1;1;1\right)\)  (điểm rơi dự kiến); \(P\left(1;\dfrac{9}{10};\dfrac{\sqrt{119}}{10}\right)\) ; \(P\left(1;\dfrac{1}{10};\dfrac{\sqrt{199}}{10}\right)\) sẽ hiểu tại sao