Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a.
\(A=\dfrac{2013}{x^2}-\dfrac{2}{x}+1=2013\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{2013}\right)^2+\dfrac{2012}{2013}\ge\dfrac{2012}{2013}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2013\)
b.
\(B=\dfrac{4x^2+2-4x^2+4x-1}{4x^2+2}=1-\dfrac{\left(2x-1\right)^2}{4x^2+2}\le1\)
\(B_{max}=1\) khi \(x=\dfrac{1}{2}\)
\(B=\dfrac{-2x^2-1+2x^2+4x+2}{4x^2+2}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\left(x+1\right)^2}{2x^2+1}\ge-\dfrac{1}{2}\)
\(B_{max}=-\dfrac{1}{2}\) khi \(x=-1\)
1.
$x(x+2)(x+4)(x+6)+8$
$=x(x+6)(x+2)(x+4)+8=(x^2+6x)(x^2+6x+8)+8$
$=a(a+8)+8$ (đặt $x^2+6x=a$)
$=a^2+8a+8=(a+4)^2-8=(x^2+6x+4)^2-8\geq -8$
Vậy $A_{\min}=-8$ khi $x^2+6x+4=0\Leftrightarrow x=-3\pm \sqrt{5}$
2.
$B=5+(1-x)(x+2)(x+3)(x+6)=5-(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)$
$=5-(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)$
$=5-[(x^2+5x)^2-6^2]$
$=41-(x^2+5x)^2\leq 41$
Vậy $B_{\max}=41$. Giá trị này đạt tại $x^2+5x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-5$
Lời giải:
$A=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$
$\Leftrightarrow A(x^2+x+1)-(x^2-x+1)=0$
$\Leftrightarrow x^2(A-1)+x(A+1)+(A-1)=0$
Coi đây là PT bậc 2 ẩn $x$. Vì $A$ tồn tại nên PT luôn có nghiệm, do đó:
$\Delta=(A+1)^2-4(A-1)^2\geq 0$
$\Leftrightarrow (3-A)(3A-1)\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{1}{3}\leq A\leq 3$
Vậy $A_{\max}=3$ và $A_{\min}=\frac{1}{3}$
Giá trị max đạt được khi $x=-1$ và min đạt được khi $x=1$
a)Có \(a^2+1\ge2a\) với mọi a; \(b^2+1\ge2b\) với mọi b
Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)
Dấu = xảy ra <=> a=b=1
b) Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:
\(\left(x+y\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\left(x+y\right)_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
c) \(S=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Với x,y>0, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (1)
Thật vậy (1) \(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (lđ)
Áp dụng (1) vào S ta được:
\(S\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Lại có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge2\)
\(\Rightarrow S\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+2=6\)
\(\Rightarrow S_{min}=6\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
Câu 2:
ĐKXĐ: x<>0
\(B=\dfrac{-x^2-x-1}{x^2}\)
\(=-1-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}\)
\(=-\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}+1\right)\)
\(=-\left(\dfrac{1}{x^2}+2\cdot\dfrac{1}{x}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}\right)\)
\(=-\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{3}{4}< =-\dfrac{3}{4}\forall x< >0\)
Dấu '=' xảy ra khi 1/x+1/2=0
=>1/x=-1/2
=>x=-2
\(A=\dfrac{2x+1}{x^2+2}\)
\(\Leftrightarrow Ax^{2\:}+2A=2x+1\)
+) \(A=0\Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}\)
+) \(A\ne0\)
\(Ax^2+2A=2x+1\)
\(\Leftrightarrow Ax^{2\:}-2x=1-2A\)
\(\Leftrightarrow x^2-2.\dfrac{x}{A}=\dfrac{1-2A}{A}\)
\(\Leftrightarrow x^2-2.x.\dfrac{1}{A}+\dfrac{1}{A^2}=\dfrac{1-2A}{A}+\dfrac{1}{A^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{A}\right)^2=\dfrac{A-2A^2+1}{A^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{A}\right)^2=\dfrac{\left(1-A\right)\left(2A+1\right)}{A^2}\)
Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-\dfrac{1}{A}\right)^2\ge0\left(\forall x,A\ne0\right)\\A^2\ge0\end{matrix}\right.\)
⇒ \(\left(1-A\right)\left(2A+1\right)\ge0\)
⇒ \(-\dfrac{1}{2}\le A\le1\)
Còn lại tụ làm nha
\(A=\dfrac{2x+1}{x^2+2}=\dfrac{x^2+2-x^2-2+2x+1}{x^2+2}\\ =1-\dfrac{-\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\\ Do\left(x-1\right)^2\ge0\Rightarrow\dfrac{-\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\ge0\\ \Rightarrow\dfrac{-\left(x-1\right)^2}{x^2+2}=0\Leftrightarrow\dfrac{-\left(x-1\right)^2}{x^2+2}+1\le1\)
\(Dấu"="\Leftrightarrow A=1\\ \Leftrightarrow x-1=0\Rightarrow x=1\\ Vậy.P_{max}=1.khi.x=1\\ A=\dfrac{2x+1}{x^2+2}\rightarrow2A+1=\dfrac{2.\left(2x+1\right)}{x^2+2}+1\\ =\dfrac{4x+2+x^2+2}{x^2+2}=\dfrac{x^2+4x+2}{x^2+2}=\dfrac{\left(x+2\right)^2}{x^2+2}\\ Do\left(x+2\right)^2\ge0\Leftrightarrow\dfrac{\left(x+2\right)^2}{x^2+2}\ge0\)
\(Dấu"="\Leftrightarrow A=\dfrac{1}{2}khi.x=-2\\ \Rightarrow2A+1\ge0\Rightarrow2A\ge-1\Rightarrow A>-\dfrac{1}{2}\\ Vậy.MinA=-\dfrac{1}{2}.khi.x=-2\)
\(Q=-2\left(x-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{25}{2}\le\dfrac{25}{2}\)
\(Q_{max}=\dfrac{25}{2}\) khi \(x=\dfrac{3}{2}\)
\(A=\dfrac{9\left(x^2+2\right)-9x^2+6x-1}{x^2+2}=9-\dfrac{\left(3x-1\right)^2}{x^2+2}\le9\)
\(A_{max}=9\) khi \(x=\dfrac{1}{3}\)
\(A=\dfrac{12x+34}{2\left(x^2+2\right)}=\dfrac{-\left(x^2+2\right)+x^2+12x+36}{2\left(x^2+2\right)}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\left(x+6\right)^2}{2\left(x^2+2\right)}\le-\dfrac{1}{2}\)
\(A_{min}=-\dfrac{1}{2}\) khi \(x=-6\)
ĐK tồn tại A với mọi x
\(A=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=\frac{x^2+x+1-2x}{x^2+x+1}=1+\frac{-2x}{x^2+x+1}=1+B\) (*)
Thay vì tìm GTNN & LN của B ta đi tìm GTNN,LN của B
\(B=\frac{-2x}{x^2+x+1}\)
Tìm Max\(2-B=2-\frac{-2x}{x^2+x+1}=\frac{2x^2+2x+2+2x}{x^2+x+1}=\frac{2\left(x^2+2x+1\right)}{x^2+x+1}=\frac{2\left(x+1\right)^2}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\ge0\)
=>\(2-B\ge0\Rightarrow B\le2\Rightarrow A\le2+1=3\)đẳng thức khi Tim Min
\(B+\frac{2}{3}=\frac{-2x}{x^2+x+1}+\frac{2}{3}\Leftrightarrow\frac{-6x+2x^2+2x+2}{3\left(x^2+x+1\right)}=\frac{2\left(x^2-2x+1\right)}{3\left(x^2+x+1\right)}=\frac{2\left(x-1\right)^2}{3\left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]}\ge0\)
\(B+\frac{2}{3}\ge0\Rightarrow B\ge-\frac{2}{3}\Rightarrow A\ge1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\) đẳng thức khi x=-1
Kết luận:
GTNN A=1/3 khi x=1
GTLN A=3 khi x=-1
Dùng PP Miền giá trị đi bạn:
Gọi k là 1 giá trị ta có: (x² - x +1)/(x² + x +1) = k (1). Ta cần tìm k để PT (1) có nghiệm
Từ (1) ta có: (x² - x +1) = k.(x² + x +1)
<=> (1 - k)x² - (k + 1)x + (1 - k) = 0 (*)
Del ta =(k + 1)² - 4( 1 - k)² = -3k² + 10k - 3
Để (*) có nghiệm thì del ta ≥ 0
<=> -3k² + 10k - 3 ≥ 0
<=> 1/3 ≤ k ≤ 3
Vậy GTNN của A =1/3 khi (*) có nghiệm kép hay x = -b/2a=(k + 1)/2(1 - k) với k = 1/3 khi đó x = 1
(Thực ra dùng PP Miền giá trị ta còn tìm được Max A = 3 khi x = -1)
Do \(x^2+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0;\forall x\) nên:
\(A=\dfrac{3\left(x^2+x+1\right)-2x^2-4x-2}{x^2+x+1}=3-\dfrac{2\left(x+1\right)^2}{x^2+x+1}\le3\)
\(A_{max}=3\) khi \(x=-1\)
\(A=\dfrac{3x^2-3x+3}{3\left(x^2+x+1\right)}=\dfrac{x^2+x+1+2x^2-4x+2}{3\left(x^2+x+1\right)}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2\left(x-1\right)^2}{3\left(x^2+x+1\right)}\ge\dfrac{1}{3}\)
\(A_{min}=\dfrac{1}{3}\) khi \(x=1\)
thầy giải cho em bài bài với:
Tìm GTLN: \(\dfrac{-x^2+x-10}{x^2-2x+1}\); x \(\ne\)1