Question

[Long Hoàng Gia Huyên]

Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = 2sqrt{1-x^2} +x^2

Answer 1

[Waest Eset]

Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 2\sqrt{1-x^2} + x^2 \) trên miền xác định của nó, ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định miền xác định của hàm số**:
   \[
   1 - x^2 \geq 0 \implies -1 \leq x \leq 1
   \]
   Do đó, hàm số xác định trên khoảng \([-1, 1]\).

2. **Tính đạo hàm của hàm số**:
   \[
   y = 2\sqrt{1 - x^2} + x^2
   \]
   Đạo hàm của hàm số \( y \) là:
   \[
   y' = \frac{d}{dx} \left( 2\sqrt{1 - x^2} + x^2 \right)
   \]
   Áp dụng quy tắc đạo hàm:
   \[
   y' = 2 \cdot \frac{d}{dx} \left( \sqrt{1 - x^2} \right) + \frac{d}{dx} \left( x^2 \right)
   \]
   \[
   = 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x) + 2x
   \]
   \[
   = -\frac{2x}{\sqrt{1 - x^2}} + 2x
   \]
   \[
   = 2x \left(1 - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right)
   \]

3. **Tìm các điểm cực trị**:
   Giải phương trình \( y' = 0 \):
   \[
   -\frac{2x}{\sqrt{1 - x^2}} + 2x = 0
   \]
   \[
   2x \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) = 0
   \]
   \[
   2x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 1 - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 0
   \]
   \[
   x = 0 \quad \text{hoặc} \quad \sqrt{1 - x^2} = 1
   \]
   \[
   x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 1 - x^2 = 1
   \]
   \[
   x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = 0
   \]
   \[
   x = 0
   \]

4. **Xét giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị**:
   \[
   y(-1) = 2\sqrt{1 - (-1)^2} + (-1)^2 = 2\sqrt{0} + 1 = 1
   \]
   \[
   y(1) = 2\sqrt{1 - 1^2} + 1^2 = 2\sqrt{0} + 1 = 1
   \]
   \[
   y(0) = 2\sqrt{1 - 0^2} + 0^2 = 2\sqrt{1} + 0 = 2
   \]

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng \([-1, 1]\) là \( 2 \) và giá trị nhỏ nhất là \( 1 \).