Question

[Ngô Hoàng Minh Ngọc]

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của AC. Trên tia BM lấy điểm N sao cho BM = MN ( B khác N).

c) Kẻ AH vuông góc với BN tại H, CK vuông góc với BN tại K. Chứng minh AK song song với HC

d) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AN, BC. Chứng minh E, M , F thẳng hàng

Answer 1

[Nguyễn Minh Phúc]

c) Chứng minh \(A K \parallel H C\):

• Ta có \(A H \bot B N\) và \(C K \bot B N\), do đó \(A H \parallel C K\) (vì cùng vuông góc với \(B N\)).
• Xét tứ giác \(A H C K\):
• • \(A H \parallel C K\) (đã chứng minh).
  • \(A K\) và \(H C\) là hai đường chéo của tứ giác.
• Theo tính chất của tứ giác có hai cạnh đối song song, thì hai đường chéo sẽ song song nhau. Do đó, \(A K \parallel H C\).

d) Chứng minh \(E , M , F\) thẳng hàng:

• Gọi \(M\) là trung điểm của \(A C\), \(E\) là trung điểm của \(A N\), và \(F\) là trung điểm của \(B C\).
• Ta sẽ chứng minh rằng ba điểm \(E , M , F\) thẳng hàng.

1. Xét tam giác \(A B C\):
2. • Gọi \(M\) là trung điểm của \(A C\), nên \(M\) nằm trên đường trung tuyến của tam giác.
3. Xét tam giác \(A B N\):
4. • Gọi \(E\) là trung điểm của \(A N\). Theo định lý đường trung bình trong tam giác, đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh của tam giác sẽ song song với cạnh còn lại và bằng nửa độ dài cạnh đó.
5. Xét đoạn thẳng nối các trung điểm:
6. • Trong tam giác \(A B C\), \(F\) là trung điểm của cạnh \(B C\), và \(M\) là trung điểm của cạnh \(A C\). Do đó, đoạn thẳng nối \(M\) và \(F\) (đường trung bình của tam giác) sẽ song song với cạnh còn lại (\(A B\)) và bằng nửa độ dài của cạnh đó.
   • Tương tự, trong tam giác \(A B N\), đoạn thẳng nối \(E\) (trung điểm của \(A N\)) và \(M\) (trung điểm của \(A C\)) cũng sẽ song song với cạnh còn lại (\(B N\)).
7. Kết luận:
8. • Các điểm \(E , M , F\) cùng nằm trên một đường thẳng (đường trung bình hoặc đường thẳng đồng quy nối các trung điểm). Vậy, \(E , M , F\) thẳng hàng.

Answer 2

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

c: Xét ΔMHA vuông tại H và ΔMKC vuông tại K có

MA=MC

\(\widehat{HMA}=\widehat{KMC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔMHA=ΔMKC

=>MH=MK

Xét ΔMAK và ΔMCH có

MA=MC

\(\widehat{AMK}=\widehat{CMH}\)(hai góc đối đỉnh)

MK=MH

Do đó: ΔMAK=ΔMCH

=>\(\widehat{MAK}=\widehat{MCH}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên AK//CH

d: Xét ΔMAN và ΔMCB có

MA=MC

\(\widehat{AMN}=\widehat{CMB}\)(hai góc đối đỉnh)

MN=MB

Do đó: ΔMAN=ΔMCB

=>\(\widehat{MAN}=\widehat{MCB}\) và AN=CB

Ta có: \(AE=EN=\dfrac{AN}{2}\)

\(CF=FB=\dfrac{CB}{2}\)

mà AN=CB

nên AE=EN=CF=FB

Xét ΔMAE và ΔMCF có

MA=MC

\(\widehat{MAE}=\widehat{MCF}\)

AE=CF

Do đó: ΔMAE=ΔMCF

=>\(\widehat{AME}=\widehat{CMF}\)

=>\(\widehat{AME}+\widehat{AMF}=180^0\)

=>E,M,F thẳng hàng