Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = 2sqrt{1-x^2} +x^2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NL
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 3 2021
Do \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\Rightarrow x+1\ge0\\\sqrt{x^2+1}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow y\ge0\)
\(y_{min}=0\) khi \(x=-1\)
Lại có: \(y^2=\dfrac{\left(x+1\right)^2}{x^2+1}=\dfrac{x^2+2x+1}{x^2+1}=\dfrac{2\left(x^2+1\right)-x^2+2x-1}{x^2+1}=2-\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x^2+1}\le2\)
\(\Rightarrow y\le\sqrt{2}\)
\(y_{max}=\sqrt{2}\) khi \(x=1\)
24 tháng 9 2019
Ta có :
\(\sqrt{6-x^2}\le\sqrt{6}\)
\(\Rightarrow-2\sqrt{6-x^2}\ge-2\sqrt{6}\)
\(\Rightarrow5-2\sqrt{6-x^2}\ge5-2\sqrt{6}\)
\(\Rightarrow A=\frac{1}{5-2\sqrt{6-x^2}}\le\frac{1}{5-2\sqrt{6}}=5+2\sqrt{6}\)
\(Max_A=5+2\sqrt{6}\Leftrightarrow x=0\)
Chúc bạn học tốt !!!
DT
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 9 2021
Lời giải:
TXĐ: $[-1;1]$
$y'=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}+\frac{x}{2}$
$y'=0\Leftrightarrow x=0$
$f(0)=2$;
$f(1)=f(-1)=\sqrt{2}+\frac{1}{4}$
Vậy $f_{\min}=2; f_{\max}=\frac{1}{4}+\sqrt{2}$
A
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 9 2021
a.
\(-1\le sin\left(1-x^2\right)\le1\)
\(\Rightarrow y_{min}=-1\) khi \(1-x^2=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\) \(\Rightarrow x^2=\dfrac{\pi}{2}+1+k2\pi\) (\(k\ge0\))
\(y_{max}=1\) khi \(1-x^2=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\Rightarrow x^2=1-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\) (\(k\ge1\))
b.
Đặt \(\sqrt{2-x^2}=t\Rightarrow t\in\left[0;\sqrt{2}\right]\subset\left[0;\pi\right]\)
\(y=cost\) nghịch biến trên \(\left[0;\pi\right]\Rightarrow\) nghịch biến trên \(\left[0;\sqrt{2}\right]\)
\(\Rightarrow y_{max}=y\left(0\right)=cos0=1\) khi \(x^2=2\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}\)
\(y_{min}=y\left(\sqrt{2}\right)=cos\sqrt{2}\) khi \(x=0\)
22 tháng 11 2021
\(a,\dfrac{x^2+x+2}{\sqrt{x^2+x+1}}=\dfrac{x^2+x+1+1}{\sqrt{x^2+x+1}}=\sqrt{x^2+x+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT cosi: \(\left(1\right)\ge2\sqrt{\sqrt{x^2+x+1}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}}=2\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x^2+x+1=1\Leftrightarrow x^2+x=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\)
TM
0
Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 2\sqrt{1-x^2} + x^2 \) trên miền xác định của nó, ta thực hiện các bước sau:
1. **Xác định miền xác định của hàm số**:
\[
1 - x^2 \geq 0 \implies -1 \leq x \leq 1
\]
Do đó, hàm số xác định trên khoảng \([-1, 1]\).
2. **Tính đạo hàm của hàm số**:
\[
y = 2\sqrt{1 - x^2} + x^2
\]
Đạo hàm của hàm số \( y \) là:
\[
y' = \frac{d}{dx} \left( 2\sqrt{1 - x^2} + x^2 \right)
\]
Áp dụng quy tắc đạo hàm:
\[
y' = 2 \cdot \frac{d}{dx} \left( \sqrt{1 - x^2} \right) + \frac{d}{dx} \left( x^2 \right)
\]
\[
= 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x) + 2x
\]
\[
= -\frac{2x}{\sqrt{1 - x^2}} + 2x
\]
\[
= 2x \left(1 - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right)
\]
3. **Tìm các điểm cực trị**:
Giải phương trình \( y' = 0 \):
\[
-\frac{2x}{\sqrt{1 - x^2}} + 2x = 0
\]
\[
2x \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \right) = 0
\]
\[
2x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 1 - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} = 0
\]
\[
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad \sqrt{1 - x^2} = 1
\]
\[
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 1 - x^2 = 1
\]
\[
x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = 0
\]
\[
x = 0
\]
4. **Xét giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị**:
\[
y(-1) = 2\sqrt{1 - (-1)^2} + (-1)^2 = 2\sqrt{0} + 1 = 1
\]
\[
y(1) = 2\sqrt{1 - 1^2} + 1^2 = 2\sqrt{0} + 1 = 1
\]
\[
y(0) = 2\sqrt{1 - 0^2} + 0^2 = 2\sqrt{1} + 0 = 2
\]
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên khoảng \([-1, 1]\) là \( 2 \) và giá trị nhỏ nhất là \( 1 \).