Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+...+\frac{2}{99.101}\)
\(=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{101}\)
\(=1-\frac{1}{101}=\frac{100}{101}< 1\)
Vậy A<1 (điều cần chứng minh)
\(S=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+....+\frac{1}{50^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{49.50}\)
\(=\frac{2-1}{1.2}+\frac{3-2}{2.3}+...+\frac{50-49}{49.50}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-...-\frac{1}{50}=1-\frac{1}{50}< 1\)
S<A= 1/1.2+1/2.3+...+1/40.50 => A=1-1/2+1/2-1/3+1/3-...+1/49-1/50
=> A=1-1/50 <1
Mà S<A<1 => S<1 =>(ĐPCM)
\(A=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{98.99.100}\)
\(A=\frac{1}{2}.\left(\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+...+\frac{2}{98.99.100}\right)\)
\(A=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{98.99}-\frac{1}{99.100}\right)\)
\(A=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{9900}\right)\)
\(A=\frac{1}{2}.\frac{4949}{9900}\)
\(A=\frac{4949}{19800}\)
cứu tui
$$3S = 3 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^{100}}\right)$$$$3S = 3 \cdot \frac{1}{3} + 3 \cdot \frac{1}{3^2} + 3 \cdot \frac{1}{3^3} + \dots + 3 \cdot \frac{1}{3^{100}}$$$$3S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^{99}}$$$$3S - S = \left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^{99}}\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{3^{100}}\right)$$$$2S = 1 - \frac{1}{3^{100}}$$$$S = \frac{1 - \frac{1}{3^{100}}}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^{100}}$$
Vì $\frac{1}{2 \cdot 3^{100}} > 0$ nên:
$$S = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^{100}} < \frac{1}{2}$$( ĐPCM)
\(S = \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + ... + \frac{1}{3^{100}}\).
\(3S = 3 \cdot \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + ... + \frac{1}{3^{100}}\right)\)
\(3S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{3^{99}}\)
\(3S - S = \left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{3^{99}}\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + ... + \frac{1}{3^{100}}\right)\)
\(2S = 1 - \frac{1}{3^{100}}\)
\(3S = 1 - \frac{1}{3^{100}}\)
Ta có :
\(2S = 1 - \frac{1}{3^{100}}\)
Vì \(\frac{1}{3^{100}} > 0\) \(1 - \frac{1}{3^{100}} < 1\
- \(1 - \frac{1}{3^{100}} < 1\)
- \(2S < 1\)
Chia cả hai vế cho \(2\), ta được:bị lỗi talex ở bài trên mik xl bn nha
Giải
Ta có:
S = 1/3 + 1/32 + 1/33 + ... + 1/3100
1. Tính giá trị biểu thức 3S:
Nhân cả hai vế của S với 3, ta được:3S = 3 . (1/3 + 1/32 + 1/33 + ... + 1/3100)3S = 1 + 1/3 + 1/32 + ... + 1/399
2. Chứng minh S < 1/2:
Lấy biểu thức 3S trừ đi S theo vế, ta có:3S - S = (1 + 1/3 + 1/32 + ... + 1/399) - (1/3 + 1/32+ 1/33 + ... + 1/3100)2S = 1 - 1/3100
Vì 1/3^100 > 0 nên 1 - 1/3100 < 1
Vậy S < 1/2.Suy ra: 2S < 1
Do đó: S < 1/2
Nhân cả hai vế của \(S\) với \(3\) :
\(3S=3\cdot\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\ldots+\frac{1}{3^{100}}\right)\)
\(3S=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{3^{99}}\)
Lấy \(3S\) trừ đi \(S\) :
\(3S-S=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\ldots+\frac{1}{3^{99}}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+\ldots\dots+\frac{1}{3^{100}}\right)\)
Các số hạng ở giữa triệt tiêu lẫn nhau, ta thu được:
\(2S = 1 - \frac{1}{3^{100}}\)
\(\Longrightarrow S=\frac{1 - \frac{1}{3^{100}}}{2}\)
Vì \(\frac{1}{3^{100}}>0\) nên \(1-\frac{1}{3^{100}}<1\)
\(\Longrightarrow S=\frac{1 - \frac{1}{3^{100}}}{2}<\frac{1}{2}\quad\) (dpcm)